حل تشریحی سوالات ریاضی (چهارمحال و بختیاری) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1402

درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید. (1/5)

الف) عدد گنگ $\sqrt{2/5}$ بین دو عدد صحیح 2 و 3 قرار دارد.

ب) عدد $3/1\bar{2}$ عضو مجموعه $\left\{x\in {\mathbb{Q}}^{\prime }|x<4\right\}$ است.

پ) نماد علمی عدد $0/01402$، عدد $1/402\times {10}^{-2}$ است.

ت) اگر $x$ عدد حقیقی مثبتی باشد، عبارت $\sqrt{4x^2}$ همواره برابر $2x$ است.

ث) عبارت گویای $\frac{x-1}{x^2+1}$ به ازای $x=1$ تعریف نشده است.

ج) مثلث قائم‌الزاویه‌ای را حول یکی از اضلاع قائمه آن دوران دهیم، حجم شکل حاصل مخروط است.

گزینه درست را در هر مورد مشخص کنید. (2)

1) اگر $A-B=\varnothing$ باشد، کدام رابطه در مورد دو مجموعه غیرتهی $A$ و $B$ درست است؟

الف) $A\subseteq B$

ب) $B\subseteq A$

ج) $A\bigcap B=B$

د) $B-A=\varnothing$

2) معادله خط گذرنده از دو نقطه $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$ و $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ کدام است؟

الف) $y=1$

ب) $x=1$

ج) $y=-2$

د) $x=0$

3) به جای عبارت $A$ در تساوی زیر کدام عبارت را می‌توان نوشت؟

$\frac{(2x+4)A}{x^2+5x+6}=2$

الف) $x+6$

ب) $x+5$

ج) $x+4$

د) $x+3$

4) مساحت یک نیم‌کره تو پر چوبی به شعاع $R$ کدام گزینه است؟

الف) $4\pi R^2$

ب) $3\pi R^2$

ج) $2\pi R^2$

د) $\frac{4}{3}\pi R^2$

الف) نمایش عددی مجموعه $E$ را بنویسید. (0/5)

$E=\left\{2^x|x\in \mathbb{N},x<3\right\}=$

ب) با توجه به نمودار ون زیر، پاسخ عبارت‌های زیر را بنویسید. (0/5)

$A-B=$

$B-(A\bigcup B)=$

کارت‌هایی به شماره 1 تا 10 را در اختیار داریم، چقدر احتمال دارد کارتی که انتخاب می‌کنیم عددی زوج و از 5 کوچک‌تر باشد؟ (0/5)

حاصل عبارات زیر را به‌دست آورید. (1)

$\left|5-2\times 3\right|=$ (الف

$\sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}=$ (ب

الف) اگر $O$ مرکز دایره و پاره‌خط‌های $AB$ و $CD$ بر دایره مماس باشند، ثابت کنید $\overline{AB}=\overline{CD}$ است. (1)

$\begin{array}{c}\cdots =\cdots \\ \cdots =\cdots \\ \cdots =\cdots \end{array}\}\stackrel{\cdots \cdots }{\to }OAB\cong OCD$

ب) مثلث $ABC$ به اضلاع 6، 8 و 10 با مثلث $DEF$ به اضلاع $x-1$، 4 و $y$ متشابه هستند (اضلاع به ترتیب نوشته شده‌اند). مقادیر $x$ و $y$ را به‌دست آورید. (0/5)

الف) حاصل عبارت زیر را به‌صورت عدد توان‌دار به‌دست آورید. (0/5)

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}\times {\left(\frac{4}{3}\right)}^2=$

ب) حاصل عبارت رادیکالی زیر را به‌دست آورید. (0/5)

$\sqrt[3]{16}-3\sqrt[3]{2}=$

پ) مخرج کسر زیر را گویا نمایید. (0/5)

$\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

الف) جاهای خالی زیر را با عدد یا علامت $(<=>)$ مناسب تکمیل نمایید. (0/5)

- درجه چندجمله‌ای $5x{y}^7$ نسبت به متغیرهای $x$ و $y$، ............ است.

- اگر $x+3=y$ باشد، آنگاه $x\square y$ است.

ب) اتحادهای زیر را کامل نمایید.

${(2x+\cdots )}^2=\cdots +\cdots +9(0/75)$

$(x-4)(x+4)=\cdots -\cdots (0/5)$

پ) عبارت جبری زیر را تجزیه نمایید. (0/5)

$x^2-6x+5=(\cdots \cdots )(\cdots \cdots )$

ت) مجموعه جواب نامعادلۀ زیر را تعیین نمایید. (0/75)

$2x+5\le 4x+7$

دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر را حل نمایید. (1)

$\{\begin{array}{c}2x-y=-2\\ 3x+2y=11\end{array}$

الف) در مورد معادله خط $2y-x=-2$، ادعای سه دانش‌آموز زیر را خوانده و درستی یا نادرستی آن‌ها را مشخص نمایید. (0/75)

- امید: شیب خط عدد 2 است.

- متین: این خط محور عرض‌ها را در نقطه $-1$ قطع می‌کند.

- نیما: نقطه $\left[\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right]$ روی خط قرار دارد.

ب) معادله خطی بنویسید که با خط $y=4x+5$ موازی بوده، و از نقطه $\left[\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right]$ بگذرد. (0/5)

پ) معادله خط رسم شده زیر را بنویسید. (0/75)

الف) حاصل تفریق و ضرب زیر را به‌دست آورید. (1/75)

$\frac{5}{x+2}-\frac{2}{x+2}=$

$\frac{x-1}{x^2-5x+4}\times \frac{4-x}{x+1}=$

ب) تقسیم چندجمله‌ای زیر را انجام دهید. (1)

$x^2+7x-1|\frac{x+3}{}$

الف) کره‌ای به شعاع $R$ درون استوانه‌ای محاط شده است، ادعای دو دانش‌آموز زیر را خوانده و درستی یا نادرستی آن‌ها را مشخص نمایید. (0/5)

- مبینا: حجم این استوانه برابر $2\pi R^3$ است.

- یکتا: حجم فضای خالی بین استوانه و کره، برابر با حجم نیم‌کره‌ای به شعاع $R$ است.

ب) حجم کره‌ای به شعاع 3 را به‌دست آورید. (0/75)

پ) حجم هرمی با قاعده مربعی به ضلع 3 و ارتفاع 6 را به‌دست آورید. (1)