حل تشریحی سوالات ریاضی (خراسان رضوی) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1402

درست یا نادرست بودن عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) هر دو مستطیل دلخواه، با هم متشابه‌اند.

ب) عددی وجود دارد که حقیقی و طبیعی باشد.

ج) هر عدد فقط یک «ریشه سوم» دارد.

د) مجموعه تهی را به‌صورت $\left\{\varnothing \right\}$ نمایش می‌دهیم.

پاسخ درست را مشخص کنید. (1)

الف) کدام‌یک از عبارت‌های زیر «تک‌جمله‌ای» است؟

1) $\frac{3}{x}$

2) $x^{-3}$

3) $\frac{\left|x\right|}{3}$

4) $\frac{1}{2}$

ب) خط $y=2x-3$ با کدام‌یک از خطوط زیر موازی است؟

1) $y=3x-3$

2) $y=x-3$

3) $y=2x$

4) $y=-3$

ج) کدام‌یک از عبارت‌های زیر، یک «عبارت گویا» نیست؟

1) $\frac{x}{2}$

2) $\frac{\sqrt{x}}{5}$

3) $\frac{\sqrt{3}}{y}$

4) $\frac{x}{y}$

د) مساحت یک کره به شعاع $R$ برابر است با:

1) $4\pi R^2$

2) $4\pi R^3$

3) $2\pi R^2$

4) $2\pi R^3$

با انتخاب عدد یا عبارت مناسب از داخل پرانتز جای خالی را کامل کنید. (0/75)

الف) نمایش اعشاری کسر $\frac{1}{5}$ ............ است. (مختوم - متناوب)

ب) در پرتاب یک تاس احتمال این‌که عدد رو شده زوج باشد، ............ است. ($\frac{1}{3}$، $\frac{1}{2}$)

ج) قاعده مخروط به شکل ............ است. (دایره - چندضلعی منتظم)

با توجه به نمودار زیر تساوی‌های زیر را کامل کنید. (1/5)

$B-A=$ (الف

$A\bigcap B=$ (ب

$n(A\bigcup B)=$ (ج

با توجه به محور، مجموعه متناظر آن را بنویسید. (0/5)

$A=\left\{\right\}$

الف) بین دو عدد 3 و 4، یک عدد گویا و یک عدد گنگ بنویسید. (0/5)

ب) حاصل عبارت زیر را بنویسید. (0/5)

$\sqrt{{(2-\sqrt{8})}^2}=$

در اثبات زیر، جاهای خالی را کامل کنید. (1)

دو پاره‌خط $AB$ و $CD$ یکدیگر را در نقطه $O$ نصف کرده‌اند.

نشان دهید: $AD=BC$

$\begin{array}{c}{\hat{O}}_1={\hat{O}}_2\\ \cdots =\cdots \\ \cdots =\cdots \end{array}\}\Rightarrow \stackrel{\Delta }{\mathrm{AOD}}\cong \stackrel{\Delta }{\mathrm{BOC}}\Rightarrow \cdots =\cdots$

بنا به حالت (............)

در شکل زیر دو مثلث داده شده، با هم متشابه هستند. نسبت تشابه این دو مثلث را بنویسید. (یک جواب کافی است) (0/25)

الف) عبارت زیر را ساده کنید. (0/5)

$5\sqrt{2}-\sqrt{32}=$

ب) نماد علمی عدد «563000» را بنویسید. (0/5)

ج) مخرج کسر زیر را گویا کنید. (0/5)

$\frac{3}{\sqrt{7}}=$

الف) حاصل عبارت‌های زیر را با استفاده از اتحادها به‌دست آورید.

${(x-1)}^2=(0/75)$

$(3x+2)(3x-2)(0/5)$

ب) عبارت زیر را به کمک اتحادها تجزیه کنید. (0/75)

$x^2+8x+15=$

نامعادله زیر را حل کنید. (1)

$3(2x-6)\le 4x+2$

با توجه به شکل زیر معادله خط $d$ را بنویسید. (1)

الف) معادله خطی را بنویسید که موازی محور عرض‌ها باشد و از نقطه $\left[\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right]$ بگذرد. (0/5)

ب) «عرض از مبدأ» خط به معادله $2y=6x+4$ را پیدا کنید. (0/5)

دستگاه معادلات خطی زیر را حل کنید. (1)

$\{\begin{array}{c}5x-2y=9\\ 3x+y=1\end{array}$

عبارت زیر به ازای چه مقداری از $x$ تعریف نشده است؟ (0/5)

$\frac{3x}{x-5}$

حاصل عبارت‌های زیر را به ساده‌ترین شکل ممکن بنویسید. (مخرج‌ها مخالف صفر فرض شده‌اند) (2)

$\frac{3}{x+2}+\frac{1}{x}=$ (الف

$\frac{(3x-3)}{(x^2-1)}\times \frac{x+1}{5}=$ (ب

تقسیم را انجام دهید و خارج‌قسمت و باقیمانده را به‌دست آورید. (1)

$\begin{array}{c}{x}^2-5x+1\\ \end{array}|\frac{x+3}{}$

الف) حجم کره‌ای به شعاع 5 سانتی‌متر را به‌دست آورید. (نوشتن فرمول حجم الزامی است) (1)

ب) حجم هرمی را به‌دست آورید که قاعده آن مستطیلی به ابعاد 4 و 6 سانتی‌متر و ارتفاع آن 8 سانتی‌متر باشد. (نوشتن فرمول حجم الزامی است) (1)