حل تشریحی سوالات ریاضی (کرمانشاه) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1402

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) مجموعه $\left\{1,2,5,1\right\}$ دارای 4 عضو است.

ب) عددی وجود دارد که هم گویا و هم گنگ باشد.

ج) خط $y=6x$ از مبدأ مختصات می‌گذرد.

د) عبارت $\frac{x}{\sqrt{x}+y}$ عبارت گویا است.

جای خالی را با یکی از اعداد (2-4-1-8-3) طوری کامل کنید که جمله حاصل درست باشد. (1)

الف) نسبت تشابه دو شکل هم‌نهشت برابر با ............ است.

ب) ریشه سوم عدد 64 برابر است با ............ .

ج) شیب خط $y=3x+2$ برابر است با ............ .

د) اگر $\pi =3$ باشد، حجم مخروطی به شعاع 2 و ارتفاع 2 برابر است با ............ .

در هر مورد، گزینۀ درست را انتخاب کنید. (1)

1) کدام‌یک از مجموعه‌های زیر، زیرمجموعه مجموعه $\left\{2,5,1,3,6\right\}$ است؟

الف) $\left\{1,3,6,4\right\}$

ب) $\left\{3,6,5,1\right\}$

ج) $\left\{2,5,4,6\right\}$

د) $\left\{5,2,7,3\right\}$

2) کدام گزینه درست است؟

الف) $Q\bigcup Z=\varnothing$

ب) $N\bigcup Q=N$

ج) $N\bigcup Z=Z$

د) $Q\bigcap Z=Q$

3) نماد علمی عدد 1250 کدام گزینه است؟

الف) $1/25\times {10}^3$

ب) $1/25\times {10}^{-3}$

ج) $12/5\times {10}^2$

د) $12/5\times {10}^{-2}$

4) اگر $a-b>0$ باشد آنگاه کدام گزینه درباره $a$ و $b$ همواره درست است؟

الف) $a>b$

ب) $a<b$

ج) $a\le b$

د) $a\ge b$

به سؤالات زیر با پاسخ کوتاه، جواب دهید. (1)

الف) اگر تاسی را بیندازیم چقدر احتمال دارد عدد رو شده زوج باشد؟

ب) یک عدد گنگ بین 6 و 7 بنویسید.

ج) در یک نقشه مقیاس 1:200 است. فاصله دو نقطه روی نقشه 4 سانتی‌متر است. فاصله این دو نقطه در اندازه واقعی چند سانتی‌متر است؟

د) معادله خطی را بنویسید که از دو نقطه $\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right]$ و $\left[\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right]$ بگذرد.

هر یک از عبارات در ستون (الف) را به عدد درست در ستون (ب) وصل کنید. (در ستون (ب) یک گزینه اضافه است) (1)

الف) اگر $A=\left\{1,2,9,3,4,5\right\}$ و $B=\left\{6,3,7,4,5\right\}$ باشد، اعضای مجموعه $A-B$ را بنویسید. (0/75)

$A-B=\left\{\right\}$

ب) تمام زیرمجموعه‌های مجموعه $M=\{2\}$ را بنویسید. (0/5)

ج) حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. (0/5)

$\left|1-\sqrt{3}\right|=$

مثلث زیر، متساوی‌الساقین و $AD$ نیمساز وارد بر قاعده آن است. علی، با استدلال درست زیر، نشان داد که نیمساز وارد بر قاعده، میانه نیز می‌باشد. جاهای خالی را کامل کنید. (1)

$\{\begin{array}{c}\overline{AB}=\cdots \\ \cdots ={\hat{A}}_2\\ \overline{AD}=\overline{AD}\end{array}\Rightarrow \underset{بهحالت(.......)}{\stackrel{△}{\mathrm{ABD}}=\stackrel{△}{\mathrm{ACD}}}\Rightarrow \cdots =\overline{CD}$

الف) مخرج کسر زیر را گویا کنید. (0/5)

$\frac{1}{\sqrt{3}}=$

ب) عبارت زیر را ساده کنید. (راه‌حل کامل را بنویسید. (0/75)

$\sqrt{72}-\sqrt{32}=$

الف) طرف دیگر عبارات زیر را با استفاده از اتحادها به‌دست آورید. (1/25)

${(2m+1)}^2=$

$(t+3)(3-t)=$

ب) تجزیه عبارت زیر را، به کمک اتحادها، کامل کنید. (0/75)

$x^2+7x+10=(x+\cdots )(x+\cdots )$

ج) نامعادله زیر را حل کنید. (راه‌حل کامل را بنویسید) (0/75)

$2x+8>16$

الف) خط به معادله $y=3x-1$ را رسم کنید. (1/25)

ب) دستگاه معادلات خطی زیر را با روش دلخواه حل کنید. (راه‌حل کامل را بنویسید) (1/5)

$\{\begin{array}{c}2x-y=3\\ x+2y=4\end{array}$

حاصل عبارات زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. (راه‌حل کامل را بنویسید) (1/75)

$\frac{6}{5x}+\frac{4}{x}=$ (الف

$\frac{x^2+3x+2}{x+2}÷\frac{x+5}{x+1}=$ (ب

تقسیم زیر را انجام دهید و خارج‌قسمت را مشخص کنید. (راه‌حل کامل را بنویسید) (1/25)

$\begin{array}{c}{x}^2-7x-15\\ \end{array}|\frac{x-5}{}$

الف) حجم توپی کره‌ای شکل، به شعاع 3 سانتی‌متر را به‌دست آورید. (0/75)

(نوشتن فرمول الزامی است.) $(\pi =3)$

ب) مساحت یک نیم‌کره چوبی توپر به شعاع 2 سانتی‌متر را پیدا کنید. (0/75)

(نوشتن فرمول الزامی است.) $(\pi =3)$

حجم هرمی را به‌دست آورید که قاعده آن مستطیلی به ابعاد 3 و 5 سانتی‌متر و ارتفاع آن 4 سانتی‌متر باشد. (1)

(نوشتن فرمول الزامی است.) $(\pi =3)$