حل تشریحی سوالات ریاضی (گلستان) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1402

درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید. دلیل نادرستی را بنویسید. (1)

1- مجموعه $A-\varnothing$ همواره زیرمجموعۀ، مجموعۀ A می‌باشد.

2- اعداد منفی ریشه سوم دارند.

3- عبارت $4x^2{y}^3-5x{y}^4+z-1$ سه‌جمله‌ای است.

جاهای خالی را با عدد یا کلمه مناسب کامل کنید. (0/75)

1- اجتماع مجموعۀ عددهای گویا و عددهای اصم (گنگ) را مجموعۀ اعداد ............ می‌نامند.

2- زاویه بین دو خط در نقشه ${40}^{{}^{\circ }}$ است. زاویه بین دو خط متناظر آن‌ها در طبیعت برابر با ............ درجه است.

3- درجه عبارت $\frac{2}{5}{a}^3{x}^{2}y$ نسبت به متغیر $x$ برابر با ............ است.

گزینۀ درست را مشخص کنید. (0/75)

1- حاصل عبارت $3\times {10}^{-3}\times 5\times {10}^{-9}$ کدام است؟

الف) $15\times {10}^{-12}$

ب) $1/5\times {10}^{-11}$

ج) $1/5\times {10}^{-12}$

د) $0/15\times {10}^{-13}$

2- کدام‌یک از عبارت‌های زیر گویا است؟

الف) $\frac{x}{y}$

ب) $\frac{\sqrt{xy}}{x}$

ج) $\frac{\left|x\right|}{2}$

د) $\frac{\sqrt{x}}{x^2}$

3- کدام دو شکل متشابه‌اند؟

الف) هر دو مثلث دلخواه

ب) هر دو مستطیل دلخواه

ج) هر دو لوزی دلخواه

د) هر دو مربع دلخواه

الف) در شکل زیرمجموعه $(A-C)\bigcup C$ را رنگ کنید. (0/5)

ب) عبارتی بنویسید که نشان‌دهندۀ مجموعۀ تهی باشد. (0/5)

ج) اگر دو تاس را همزمان پرتاب کنیم مجموعه همه حالت‌های ممکن آن چند تا است؟ احتمال اینکه هر دو عدد رو شده مضرب 5 باشند را بنویسید. (1)

الف) بین $\frac{2}{5}$ و $\frac{3}{4}$ یک کسر بنویسید. (0/5)

ب) حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. (0/75)

$\left|\sqrt{5}-3\right|+\left|\sqrt{5}-2\right|=$

در شکل زیر؛

"مثلث $ABC$ متساوی‌الساقین است. و $AD$ نیمساز زاویه $A$ است. ثابت کنید $AD$ میانه است"

$\begin{array}{c}\cdots =\cdots \\ AD=AD\\ \cdots =\cdots \end{array}\}\stackrel{حالت(\cdots \cdots )}{\to }\stackrel{\Delta }{\mathrm{ABD}}\cong \stackrel{\Delta }{\mathrm{ACD}}\Rightarrow \cdots =\cdots$

ضلع مشترک: $AD=AD$

الف) حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. (0/5)

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-10}\times 3^{-5}=$

ب) عبارت زیر را به ساده‌ترین صورت بنویسید. (1)

$\sqrt{12}-\sqrt{27}+2\sqrt{3}=$

ج) مخرج کسر زیر را گویا کنید. (0/5)

$\frac{3}{\sqrt{5}}$

الف) عبارت جبری زیر را ساده کنید. (0/75)

$a(3a-b)+ab-2a^2=$

ب) عبارت جبری زیر را به کمک اتحاد تجزیه کنید. (0/5)

$x^2-36=$

ج) حاصل را به کمک اتحاد به‌دست آورید. (0/75)

$(x+2)(x+5)=$

د) مجموعه جواب نامعادله زیر را به‌دست آورید. (1)

$3-4x\ge 5(3-2x)$

الف) خط d به معادله $y=3x-2$ را رسم کنید. (1)

ب) شیب خط و عرض از مبدأ خط $d$ را بنویسید. (0/5)

شیب خط: ............

عرض از مبدأ: ............

ج) معادله خطی را بنویسید که از دو نقطه $\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ و $\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$ بگذرد. (0/5)

دستگاه زیر را حل کنید. (1)

$\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 4x+2y=6\end{array}$

الف) عبارت $\frac{2x-7}{x+3}$ به ازای $x=\cdots \cdots$ تعریف نشده است. (0/25)

ب) حاصل عبارت زیر را به ساده‌ترین صورت بنویسید. (0/75)

$\frac{x^2-x}{x^2-1}=$

ج) حاصل تفریق عبارت زیر را به‌دست آورید. (1)

$\frac{2x^2-16}{x^2-4}-\frac{x+4}{x+2}=$

تقسیم زیر را انجام دهید. باقیمانده را هم مشخص کنید. (1)

$\begin{array}{c}3x^2-10x-24\\ \end{array}|\frac{3x-4}{}$

الف) از دوران یک ربع دایره حول شعاع آن، ............ تشکیل می‌شود. (0/5)

ب) مساحت کره‌ای به شعاع 2 سانتی‌متر را به‌دست آورید. $(\pi =3)$ (0/75)

(نوشتن فرمول و واحد مساحت الزامی است)

شعاع قاعده یک مخروط 10 سانتی‌متر و ارتفاع آن 12 سانتی‌متر می‌باشد. $(\pi =3)$

حجم مخروط را به‌دست آورید. (نوشتن فرمول و واحد حجم الزامی است) (1)