حل تشریحی سوالات ریاضی (قم) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1402

الف) «اعداد طبیعی کوچک‌تر از صفر» یک مجموعه تهی است. (درست - نادرست) (0/25)

ب) با توجه به نمودار «ون» زیر؛

- مجموعه‌های زیر را با اعضایش مشخص کنید. (0/75)

$A-B=\left\{\right\}$

$(A\bigcap B)\bigcap C=\left\{\right\}$

- با توجه به نمودار «ون» در جای خالی علامت مناسب قرار دهید. ($\in$ و $\subseteq$) (0/5)

$1,2\square B$

$\{-2\}\square C$

ج) در خانواده‌ای با سه فرزند، چقدر احتمال دارد که در این خانواده هر سه فرزند، پسر باشد؟ (0/5)

1) $\frac{3}{8}$

2) $\frac{1}{8}$

3) $\frac{2}{8}$

4) $\frac{7}{8}$

الف) درستی یا نادرستی هر عبارت را مشخص کنید. (0/5)

1) عدد 3/14 یک عدد گنگ است.

2) عدد 1/05 یک عدد اعشاری مختوم است.

ب) نمودار مجموعه $A=\left\{x|x\in R,-3<x\le 2\right\}$ را روی محور نشان دهید. (0/5)

حاصل عبارت زیر را به کمک قدر مطلق به‌دست آورید. (0/5)

$\sqrt{{(2-\sqrt{5})}^2}=$

الف) دو تابلو فرش در یک موزه قرار دارد. اگر نسبت تشابه آن‌ها $\frac{1}{3}$ باشد و ابعاد تابلو فرش کوچک‌تر 1/5 در 1 باشد، ابعاد تابلو فرش بزرگ‌تر چقدر است؟ (0/5)

ب) با توجه به شکل، نقطه $O$ مرکز دایره است. نشان دهید دو خط مماس $\overline{MA}$ و $\overline{MB}$ با هم مساوی‌اند. (1)

$\{\begin{array}{c}\cdots =\cdots \\ \cdots =\cdots \end{array}\Rightarrow \stackrel{△}{\mathrm{OAM}}\cong \stackrel{△}{\mathrm{OBM}}\Rightarrow \overline{BM}=\overline{AM}$

حالت هم‌نهشتی (............)

الف) حاصل $x{y}^{-3}$ برابر است با ............ . ($\frac{x}{y^3}$ یا $\frac{1}{x{y}^3}$) (0/25)

ب) نماد علمی عدد زیر را بنویسید. (0/5)

$0/0000017=$

الف) حاصل عبارت زیر را به ساده‌ترین شکل بنویسید. (0/75)

$5\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{54}=$

ب) مخرج کسر زیر را گویا کنید. (0/5)

$\frac{2}{\sqrt{3}}=$

الف) جاهای خالی را کامل کنید. (0/75)

${(x+\cdots )}^2=\cdots +\cdots +9$

ب) اگر $a+3=b-4$ باشد، آنگاه: (0/25)

1) $a>b$

2) $b>a$

الف) تساوی را به کمک اتحاد کامل کنید. (0/5)

$108\times 92=(\cdots +\cdots )(\cdots -\cdots )$

ب) عبارت زیر را تجزیه کنید. (0/5)

$x^2-6x+8=$

نامعادله زیر را حل کنید، سپس مجموعه جواب آن را روی محور نشان دهید. (1)

$\frac{x-3}{5}\le \frac{x}{2}$

الف) کدام نقطه روی خط $y=-3x+2$ قرار دارد؟ (0/25)

1)$\left[\begin{array}{c}-1\\ -5\end{array}\right]$

2)$\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right]$

3)$\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$

4)$\left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]$

ب) معادله خط‌های زیر را رسم کنید. (1/25)

$1)y=3x-1$

$2)x=-4$

الف) معادله خطی را بنویسید که با خط $y=-2x+5$ موازی و از نقطه $\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$ عبور کند. (0/5)

ب) شیب خط $2y+8x=-10$ برابر است با ............ . (0/5)

1) $-4$

2) $+4$

دستگاه زیر را حل کنید. (1)

$\{\begin{array}{c}x+y=2\\ 3x-2y=1\end{array}$

الف) به ازای چه مقادیری از $x$، عبارت گویای زیر تعریف نشده است؟ (0/5)

$\frac{5x+6}{3x-9}$

ب) حاصل عبارت‌های زیر را به ساده‌ترین صورت بنویسید.

$\frac{3x-2}{x+y}+\frac{x-3}{x+y}=(0/5)$

$\frac{2x-10}{5x^2}÷\frac{x^2-25}{10x^2}(1)$

ج) کدام عبارت گویا نیست؟ (0/5)

1) $\frac{-3}{x^2+1}$

2) $\frac{\left|x\right|}{x-1}$

3) $\frac{x-5}{7}$

4) 25

حاصل تقسیم زیر را به‌دست آورید و باقیمانده را مشخص کنید. (1)

$\begin{array}{c}{x}^2-x+7\\ \end{array}|\frac{x+2}{}$

کره‌ای به شعاع $3cm$ داریم: (1/5)

الف) حجم کره را به‌دست آورید.

ب) مساحت کره را به‌دست آورید.

الف) از دوران مثلث قائم‌الزاویه حول یکی از اضلاع قائمه‌اش، شکل ............ تصور می‌شود. (0/5)

1) استوانه

2) مخروط

ب) حجم هرمی را به‌دست آورید که قاعده آن مستطیل به اندازه 5 و 9 سانتی‌متر و ارتفاع آن $10cm$ باشد. (1)