حل تشریحی سوالات ریاضی (اردبیل) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1402

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) هر مجموعه زیرمجموعه خودش است.

ب) خط $y=x+4$ محور عرض‌ها را در $-4$ قطع می‌کند.

ج) اگر دو هرم با مساحت قاعده مساوی و ارتفاع مساوی داشته باشیم حجم‌های آن‌ها نیز مساوی می‌شوند.

د) نمایش اعشاری کسر $\frac{1}{8}$ متناوب است.

در جای خالی عدد یا کلمه مناسب بنویسید. (1)

الف) اشتراک دو مجموعۀ اعداد گنگ و گویا مجموعه ............ می‌شود.

ب) ریشۀ سوم عدد $-64$، عدد ............ است.

ج) در طی یک استدلال، به خواسته مسئله ............ می‌گویند.

د) مساحت یک کره به شعاع $r$ برابر با ............ است.

گزینه صحیح را انتخاب کنید. (2)

الف) اگر دو مجموعه $A=\left\{2,x-1\right\}$ و $B=\left\{4y,3\right\}$ مساوی باشند مقدار $x$ برابر است با:

1) $x=2$

2) $x=3$

3) $x=4$

4) $x=5$

ب) کدام گزینه در مورد درجه جمله $-3x^2{y}^3$ صحیح است؟

1) درجه نسبت به $x$ برابر با 2 است.

2) درجه نسبت به $y$ برابر با 5 است.

3) درجه نسبت به $x$ برابر با $-3$ است.

4) درجه نسبت به $xy$ برابر با 2 است.

ج) کدام‌یک از معادله‌های زیر معادله خطی است که موازی محور طول رسم شده است؟

1) $x=3$

2) $y=-4$

3) $y=-5x-6$

4) $y=x$

د) کدام‌یک از عبارت‌های زیر گویا نیست؟

1) $\frac{3}{5}$

2) $\frac{-1}{x+4}$

3) $\frac{-xy+3}{2x^3-5}$

4) $\frac{\left|x+6\right|}{5}$

الف) اگر $A=\left\{6,10,12\right\}$ و $B=\left\{-2,6,8\right\}$ و $C=\left\{3,6,10\right\}$ باشد آنگاه هر یک از مجموعه‌های زیر را با اعضایشان مشخص کنید. (0/75)

$C\bigcap B=$

$(A\bigcup B)-C=$

ب) خانواده‌ای دارای 2 فرزند است احتمال اینکه فرزند دوم دختر باشد چقدر است؟ (0/5)

الف) عبارت زیر را بدون قدرمطلق بنویسید. (0/5)

$\left|2-\sqrt{5}\right|=$

ب) با توجه به محور، مجموعۀ متناظر را بنویسید. (0/5)

الف) اگر مثلث $ABC$ متساوی‌الساقین باشد $(AB=CB)$ و همچنین داشته باشیم $AX=YC$ ثابت کنید: مثلث $XBY$ نیز متساوی‌الساقین است. (1 نمره)

ب) در یک نقشه مقیاس $\frac{1}{500}$ می‌باشد، اگر فاصلۀ واقعی دو فروشگاه در یک شهر $150m$ باشد، فاصلۀ دو نقطه متناظر با این فروشگاه‌ها در نقشه چند $cm$ می‌شود؟ (0/25)

الف) نمایش اعشاری عدد $1/25\times {10}^{-7}$ را بنویسید. (0/25)

ب) حاصل عبارت زیر را به‌صورت یک عدد توان‌دار با توان مثبت بنویسید. (0/5)

${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-3}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-5}=$

ج) عبارت زیر را ساده کنید. (0/5)

$\sqrt{12}-2\sqrt{75}=$

د) مخرج کسر زیر را گویا کنید. (0/5)

$\frac{4}{\sqrt{2x}}=$

الف) با استفاده از اتحادها حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید. (1)

${(101)}^2=$

$(x-0/5)(x+0/5)=$

ب) چندجمله‌ای زیر را تجزیه کنید. (0/5)

$x^2+8x+12=$

ج) نامعادلۀ زیر را حل کنید. (1)

$x+6\le 3x$

الف) نمودار معادله خطی $y=\frac{1}{3}x-1$ را رسم کنید. (1)

ب) شیب خطی که از دو نقطه $\left[\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right]$ و $\left[\begin{array}{c}0\\ 9\end{array}\right]$ می‌گذرد را به‌دست آورید. (0/75)

دستگاه زیر را به روش دلخواه حل کنید. (1)

$\{\begin{array}{c}3x-y=5\\ 2x+y=-15\end{array}$

الف) عبارت زیر به ازای چه مقادیری از $x$ تعریف نشده است؟ (0/5)

$\frac{x+5}{x^2-16}$

ب) حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید. (مخرج کسرها مخالف صفر فرض شده است) (1/5)

$\frac{1-x}{x+1}+\frac{2x}{x+1}=$

$\frac{15y^3}{2x}\times \frac{8x^3}{3y}=$

ج) تقسیم زیر را انجام دهید و باقیمانده را مشخص کنید. $(x\ne 4)$ (1)

$\begin{array}{c}{x}^2-7x+13\\ \end{array}|\frac{x-4}{}$

الف) حجم هرمی با قاعده مربع را به‌دست آورید که یک ضلع قاعدۀ آن $1/5m$ و ارتفاع آن $12m$ باشد. (با نوشتن فرمول) (1)

ب) از دوران شکل زیر حول خط $d$ چگونه جسمی ایجاد می‌شود آن را رسم کنید. (0/5)

ج) حجم توپ زیر که شعاع آن $10cm$ است را حساب کنید. $(\pi =3)$ (با نوشتن فرمول) (1)