حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس هندسه (3) دوازدهم خرداد 1400 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1400 (ریاضی)

جاهای خالی را با عبارات مناسب پر کنید. (1)

الف) اگر ماتریس $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& f\\ 0& a& 0\\ e& c& b\end{array}\right]$ اسکالر باشد، حاصل دترمینان ماتریس برابر ............. است.

ب) اگر صفحۀ $P$ با مولد $(d)$ موازی باشد و از رأس سطح مخروطی عبور کند، در این صورت فصل مشترک صفحه $P$ و سطح مخروطی یک ............ است.

پ) در بیضی، در حالتی که $\frac{c}{a}=0$ بیضی به ............ تبدیل می‌شود.

ت) در فضای $R^3$، نقطه $(-3,2,-5)$ در ناحیه (کنج) ............ دستگاه مختصات قرار دارد.

درستی و نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید. (1)

الف) اگر $A$ و $B$ دو ماتریس هم‌مرتبه و $r$ یک عدد حقیقی دلخواه و مخالف صفر باشد، و $rA=rB$ آن‌گاه داریم: $A=B$.

ب) مکان هندسی مرکزهای همۀ دایره‌هایی در صفحه که بر خط $d$ در نقطۀ ثابت $A$ مماس‌اند، یک نیم خط عمود بر خط $d$ در نقطۀ $A$ است.

پ) در یک سهمی، هر شعاع نوری که موازی با محور سهمی به بدنه سهمی بتابد، بازتاب آن از کانون سهمی خواهد گذاشت.

ت) اگر زاویه بین دو بردار مخالف صفر، منفرجه باشد، آنگاه ضرب داخلی آن‌ها یک عدد حقیقی مثبت است.

دو ماتریس $A=\left[\begin{array}{ccc}2& m-2& 0\\ 0& 3& 0\\ n+1& 0& 3\end{array}\right]$ و $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ m& 0& n\\ 3& -1& 2\end{array}\right]$ مفروض‌اند، اگر $A$ یک ماتریس قطری باشد، حاصل $AB$ را محاسبه کنید. (1)

اگر $2A=\left[\begin{array}{cc}\left|A\right|& -4\\ 1& \left|A\right|\end{array}\right]$ باشد، در این صورت حاصل $\left|A^{-1}\right|$ را بیابید. (1/5)

جواب دستگاه زیر را در صورت وجود، با استفاده از ماتریس وارون بیابید. (1)

$\{\begin{array}{c}3x-4y=7\\ 2x+y=1\end{array}$

معادله دایره‌ای را بنویسید که مرکز آن $O^{\prime }(2,1)$ بوده و بر خط $3x+4y=-5$ مماس باشد. (1)

وضعیت دایره $x^2+y^2-6x-2y+9=0$ با دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصات و شعاع یک را نسبت به هم مشخص کنید. (1/5)

در شکل مقابل اگر $OF=c,OB=b,OA=a$ باشد، ثابت کنید: $a^2=b^2+c^2$ (1)

نقطه $M$ روی بیضی به اقطار 10 و 6 واحد به گونه‌ای قرار دارد، که فاصله آن تا مرکز بیضی برابر 4 واحد است. (1/5)

الف) نشان دهید مثلث $MF{F}^{\prime }$ قائم‌الزاویه است.

ب) طول $MF$ را به‌دست آورید.

($F,F^{\prime }$ کانون‌های بیضی هستند و $MF<M{F}^{\prime }$).

اگر نقطۀ $A(2,3)$ رأس سهمی و $y=7$ معادلۀ خط هادی سهمی باشد: (1/25)

الف) معادله سهمی را به‌دست آورید.

ب) مختصات کانون سهمی را بیابید.

در یک دیش مخابراتی به شکل سهموی با دهانه دایره‌ای به قطر 60 واحد و گودی (عمق) 9 واحد مفروض است فاصله این دیش را به‌دست آورید. (0/75)

به سؤالات زیر پاسخ دهید. (1/5)

الف) اگر $y=b$ معادلۀ صفحه‌ای در فضای $R^3$ باشد که از نقطه $A=(2,-3,4)$ بگذرد، مقدار عددی $b$ چقدر است؟

ب) معادلات $\{\begin{array}{c}x=0\\ y=0\end{array}$ مربوط به کدام محور در دستگاه مختصات $R^3$ است؟

پ) در فضای $R^3$، نقطه $A$ به عرض 2 و ارتفاع 3 روی صفحه $yoz$ و نقطه $B=(-4,6,-3)$ مفروض‌اند مختصات وسط $AB$ را بیابید.

اگر $\vec{a}=(1,-3,4)$، $\vec{b}=(3,-4,2)$ و $\vec{c}=(-1,1,4)$ باشند آنگا تصویر قائم بردار $\vec{a}$ بر امتداد $\vec{b}+\vec{c}$ را به‌دست آورید. (1/5)

اگر $\vec{a}$ و $\vec{b}$ و $\vec{c}$ بردارهایی باشند به‌ترتیب با طول‌های 1 و 2 و 3 با این ویژگی که $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{o}$، مقدار عددی عبارت $\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a}$ را به‌دست آورید. (1/25)

ثابت کنید: دو بردار غیرصفر $\vec{a}$ و $\vec{b}$ با هم موازی هستند، اگر و فقط اگر $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{o}$ . (1/25)

سه بردار $\vec{a}=(2,3,1)$ و $\vec{b}=(-1,1,0)$ و $\vec{c}=(2,1,-2)$ مفروض‌اند. (2)

الف) برداری عمود بر دو بردار $-2\vec{b}$ و $\vec{c}$ را به‌دست آورید.

ب) حجم متوازی‌السطوحی که توسط سه بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$ و $\vec{c}$ تولید می‌شود را به‌دست آورید.