حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضیات گسسته دوازدهم خرداد 1400 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1400 (ریاضی)

درست یا نادرست بودن گزاره‌های زیر را مشخص کنید. (0/5)

الف) حاصل‌ضرب سه عدد طبیعی متوالی بر 6 بخش‌پذیر است.

ب) هیچ عدد صحیح مانند $x$ و $y$ وجود ندارد که رابطه $x^2+y^2={(x+y)}^2$ برقرار باشد.

جاهای خالی را با عدد یا کلمه مناسب پر کنید. (0/75)

الف) $a$ و $b$ اعدادی صحیح و $a$ مخالف صفر است. اگر $a|b$ آن‌گاه عدد ............ شمارنده عدد ............ است.

ب) $m$ عددی صحیح است. حاصل $(2m,6m^3)$ برابر با ............ است.

به روش بازگشتی ثابت کنید حاصل‌ضرب هر دو عدد حقیقی، کوچک‌تر یا مساوی نصف مجموع مربعات آن‌ها است. (1/25)

ثابت کنید اگر $p\ge 5$ عددی اول باشد، آن‌گاه به یکی از دو صورت $p=4k+1$ یا $p=4k+3$ نوشته می‌شود. (0/75)

باقی‌مانده تقسیم عدد $A={(1000)}^{25}\times 9+11$ را بر 7 بیابید. (0/75)

معادله $7x\stackrel{4}{\equiv }1$ را حل کنید. (1)

گراف $G$ که به‌صورت مقابل است را در نظر بگیرید. (2)

الف) $N_G(c)$ را با اعضا مشخص کنید.

ب) بزرگ‌ترین درجه از گراف $\bar{G}$ مربوط به کدام رأس و چند است؟

پ) دوری به طول 5 برای رأس $a$ بنویسید.

ت) آیا گراف $G$ همبند است؟

تفاوت بین مجموعه احاطه‌گر مینیمال و مینیمم چیست؟ توضیح دهید. (1)

در گراف شکل زیر یک مجموعه احاطه‌گر مینیمال مشخص کنید که مینیمم نباشد. (1)

عدد احاطه‌گری گراف شکل زیر را با ارائه راه‌حل، تعیین کنید. (1/5)

الف) یک گراف 6 رأسی که $\gamma$- مجموعه آن با اندازه یک باشد، رسم کنید. (0/75)

ب) یک گراف 6 رأسی که $\gamma$- مجموعه آن با اندازه دو باشد، رسم کنید. (0/75)

کوتاه پاسخ دهید. (1)

می‌خواهیم با حروف «ب» و «ج» و ارقام 8، 6، 5، 4، 2، 1 رمزی شامل 8 کاراکتر تشکیل دهیم. مطلوب است:

الف) تعداد رمزهایی که هر یک از آن‌ها با یک حرف آغاز و حرف دیگر خاتمه یابد.

ب) تعداد رمزهایی که در آن‌ها حروف کنار هم باشند.

به چند طریق می‌توان از بین 6 نوع گل 12 شاخه گل انتخاب کرد اگر بخواهیم: از گل نوع اول حداقل یک شاخه، از گل نوع چهارم بیش از 3 شاخه و از گل نوع ششم فقط یک شاخه انتخاب کنیم. (2)

مربع لاتین $A$ را در نظر بگیرید. ابتدا سطر اول و سطر دوم مربع $A$ را جابه‌جا کنید. سپس در مربع حاصل ستون دوم و سوم را جابه‌جا کنید و مربع حاصل را $B$ نام‌گذاری کنید. متعامد بودن دو مربع لاتین $A$ و $B$ را بررسی کنید. (1/5)

در یک کلاس 34 نفری، 15 نفر فوتبال، 11 نفر والیبال و 9 نفر بسکتبال بازی می‌کنند. اگر بدانیم 3 نفر هم فوتبال، هم والیبال و هم بسکتبال بازی می‌کنند و 5 نفر فوتبال و والیبال، 6 نفر والیبال و بسکتبال و 3 نفر فوتبال و بسکتبال بازی می‌کنند. مشخص کنید چند نفر فقط در یک رشته بازی می‌کنند؟ (1/75)

الف) به چند طریق می‌توان 4 کلاه متفاوت را بین 3 نفر توزیع کرد به شرط آنکه به هر نفر حداقل یک کلاه داده شود؟ (0/5)

ب) به چند طریق می‌توان 4 کلاه متفاوت را بین 8 نفر توزیع کرد به شرط آنکه که به هر نفر حداکثر یک کلاه داده شود؟ (0/5)

54 شاخه گل را حداکثر در چند گلدان قرار دهیم تا اطمینان داشته باشیم گلدانی هست که در آن حداقل 5 شاخه گل قرار گرفته است؟ (0/75)