حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی حسابان (2) دوازدهم خرداد 1400 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1400 (ریاضی)

جای خالی را با عدد یا عبارت مناسب پر کنید. (1)

الف) به تابعی که در یک بازه فقط صعودی یا نزولی باشد، ............ می‌گوییم.

ب) برد تابع تانژانت $(y=\tan x)$ برابر ........... است.

پ) با توجه به شکل مقابل حد تابع $f(x)=\frac{1}{\left|x\right|}$ در نقطه $x=0$ برابر است با ............ .

ت) اگر تابع $f$ در $x=a$ مشتق‌پذیر باشد، آن‌گاه $f$ در $a$ ............ است.

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (1)

الف) اگر تابع $f$ در هر نقطه اکسترمم نسبی مشتق‌پذیر باشد، آنگاه مشتق تابع $f$ در این نقاط صفر می‌شود.

ب) تابع صعودی اکید، نقطه عطف ندارد.

پ) اگر علامت $f^{\prime }$ بر بازه‌ای منفی باشد، آنگاه تابع $f$ بر آن بازه اکیداً نزولی است.

ت) در نقطه عطف علامت $f^{\prime \prime }(x)$ تغییر می‌کند.

نمودار تابع $y=\cos (x-\frac{\pi }{4})$ را به کمک نمودار $y=\cos x$ در بازه $\left[0,2\pi \right]$ رسم کنید. (0/75)

با رسم نمودار تابع $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& x\ge 0\\ -3x& -1<x<0\end{array}$ تعیین کنید، تابع در چه بازه‌ای اکیداً صعودی و در چه بازه‌ای اکیداً نزولی می‌باشد. (0/75)

باقی‌مانده تقسیم عبارت‌های $p(x)=x^3+ax+1$ و $q(x)=2x^2-x+1$ بر $(x+2)$ یکسان می‌باشد. مقدار $a$ را بیابید. (0/75)

ضابطه تابع مثلثاتی سینوس با دوره تناوب 3 و مقادیر ماکزیمم 5 و مینیمم 3 بنویسید. (0/75)

معادله مثلثاتی $2{\cos }^{2}x=\sin x-1$ را حل کنید. (1)

حدهای زیر را محاسبه کنید. (1)

الف) $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+1}{\left|x-2\right|}$

ب) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{x}}{\frac{4}{x}-2}$

مجانب‌های قائم و افقی نمودار تابع $f(x)=\frac{1-2x^2}{x^2-1}$ را در صورت وجود بیابید. (1/25)

معادله خط مماس بر منحنی تابع $f(x)=x^3-2x$ را در نقطه $A(1,f(1))$ به‌دست آورید. (1/5)

با توجه به نمودار $f$ به سؤالات زیر پاسخ دهید. (0/75)

الف) طول نقطه‌ای که مشتق در آن صفر است را بنویسید.

ب) طول نقطه "گوشه‌ای" را بنویسید.

پ) طول نقطه‌ای که در آن مقدار تابع و شیب خط هر دو منفی است، را بنویسید.

جسمی را از سطح زمین به‌طور عمودی پرتاب می‌کنیم. جهت حرکت به طرف بالا را مثبت در نظر می‌گیریم. فرض کنید ارتفاع این جسم از سطح زمین در هر لحظه از معادله $h(t)=-5t^2+40t$ به‌دست می‌آید. مطلوب است: (1)

الف) سرعت متوسط در بازه $\left[1,2\right]$

ب) سرعت لحظه‌ای در زمان $t=3$

با محاسبه مشتق راست و مشتق چپ تابع رسم شده مقابل؛ مشتق‌پذیری تابع را در نقطه $A(1,1)$ بررسی کنید. (1)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2/5)

الف) $f(x)=(\sqrt{3x}+1)(2x^3-1)$

ب) $g(x)=3{\tan }^{2}x+\cos x^2$

پ) $h(x)=\frac{x^2-3x}{5x}$

اکسترمم‌های مطلق تابع $f(x)=x^3-3x^2+1$ را در بازه $\left[-1,1\right]$ تعیین کنید. (1/5)

اگر نقطه $A(-1,1)$ نقطه عطف منحنی $f(x)=x^3+a{x}^2+bx-1$ باشد. مقادیر $a$ و $b$ را به‌دست آورید. (1)

جدول رفتار و نمودار تابع $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$ را رسم کنید. (2/5)