حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس هندسه (3) دوازدهم شهریور 1403 (ریاضی) - امتحان نهایی شهریور 1403

درستی یا نادرستی هر یک از عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/5)

الف) برای هر دو ماتریس مربعی هم‌مرتبه $A$ و $B$، در حالت کلی رابطه $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ برقرار است.

ب) وارون هر ماتریس مربعی در صورت وجود منحصربه‌فرد است.

ماتریس‌های $A=\left[\begin{array}{cc}-1& m\\ -2& m\end{array}\right]$ و $B=\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 1\end{array}\right]$ چنان هستند که $C=3A+2B$ ماتریس قطری است. مقدار $m$ و مجموع درایه‌های قطر اصلی ماتریس $C$ را حساب کنید. (1/25)

با فرض $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$، ماتریس $A^5$ را محاسبه کنید. (1)

الف) اگر $A$ ماتریس $2\times 2$ و اسکالر باشد و $a_{22}=3$ در این صورت $A$ و $\left|A\right|$ را بیابید. (0/5)

ب) دو ماتریس $A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& d& 0\\ e& 0& f\end{array}\right]$ و $B=\left[\begin{array}{ccc}ka& kb& kc\\ 0& d& 0\\ e& 0& f\end{array}\right]$، ($K$ عددی حقیقی است) را در نظر بگیرید. با محاسبه $\left|A\right|$ و $\left|B\right|$ نشان دهید که: $\left|B\right|=k\left|A\right|$. (1/25)

دستگاه $\{\begin{array}{c}3x-4y=1\\ -x+2y=1\end{array}$ را با استفاده از ماتریس وارون حل کنید. (1/5)

برای هر یک از عبارت‌های (الف) و (ب) مورد مناسب را از بین کلمات (سهمی - بیضی - نقطه) انتخاب کنید. (یک مورد اضافی است.) (0/5)

الف) فصل مشترک یک صفحه و یک سطح مخروطی در حالتی که صفحه بر محور سطح مخروطی عمود بوده و از رأس آن بگذرد.

ب) مکان هندسی نقاطی از یک صفحه که از یک خط ثابت در آن صفحه و از یک نقطه ثابت غیرواقع بر آن خط در آن صفحه به یک فاصله باشند.

نقطه $A$ و خط $d$ در صفحه مفروض‌اند. نقطه‌ای بیابید که از $A$ به فاصله 2 سانتی‌متر و از خط $d$ به فاصله 3 سانتی‌متر باشد. (درباره تعداد جواب‌های مسئله بحث کنید.) (1/5)

مقدار $m$ را چنان تعیین کنید که دایره به معادله $x^2+y^2+2x-2y+m=0$ با دایره به مرکز $O(2,-3)$ و شعاع 3 مماس بیرون باشد. (1/5)

معادله دایره‌ای را بنویسید که $O(1,-1)$ مرکز آن بوده و روی خط به معادله $4x-3y=2$ وتری به طول 6 جدا کند. (1/25)

خروج از مرکز یک بیضی به اندازه قطرهای 4 و 6 را بیابید. (0/75)

نقطه $P$ بیرون بیضی با قطر بزرگ $A{A}^{\prime }=2a$ و کانون‌های $F$ و $F^{\prime }$ مفروض است.

ثابت کنید: $PF+P{F}^{\prime }>2a$ (رسم شکل الزامی است) (1)

سهمی به معادله $y^2-4x=4y$ داده شده است. مختصات رأس و کانون و معادله خط هادی سهمی را به‌دست آورید. (1/5)

جاهای خالی را با عبارت یا اعداد مناسب کامل کنید. (1)

الف) معادله صفحه گذرنده از نقطه $A(2,3,-1)$ و عمود بر محور $x$ها به‌صورت ............ می‌باشد.

ب) اگر $A(-1,0,3)$ و $B(5,2,-3)$ مختصات نقطه $M$ وسط پاره‌خط $AB$ به‌صورت ............ است.

پ) برای هر دو بردار دلخواه $\vec{a}$ و $\vec{b}$، حاصل $\vec{a}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})$ برابر ............ می‌باشد.

ت) حاصل $\left(\vec{j}\times \vec{i}\right)-2\vec{k}$ برابر ............ است.

برای هر دو بردار غیر صفر $\vec{a}$ و $\vec{b}$ ثابت کنید: $\left|\vec{a}\cdot \vec{b}\right|\le \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|$. (منظور از $\left|\vec{a}\cdot \vec{b}\right|$ قدر مطلق مقدار $\vec{a}\cdot \vec{b}$ می‌باشد.) (1)

فرض کنید $\vec{a}=(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ و $\vec{b}=(1,0,1)$، تصویر قائم بردار $2\vec{a}-\vec{b}$ را بر امتداد بردار $\vec{b}$ به‌دست آورید. (1/75)

نقاط $A(1,0,0)$ و $B(0,-2,0)$ و $C(0,0,3)$ داده شده‌اند. ابتدا حاصل $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ را محاسبه کرده و سپس به کمک آن مساحت مثلث $ABC$ را به‌دست آورید. (1/5)

حجم متوازی‌السطوح ایجاد شده توسط بردارهای $\vec{a}=(0,-1,1)$ و $\vec{b}=(1,0,-1)$ و $\vec{c}=(0,-1,-1)$ را بیابید. (0/75)