حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس حسابان (2) دوازدهم شهریور 1403 (ریاضی) - امتحان نهایی شهریور 1403

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) اگر $n$ عدد طبیعی زوج و $a$ عدد حقیقی باشد، آن‌گاه چند جمله ای $x^n+a^n$ بر $x+a$ بخش‌پذیر است.

ب) تابع $y=\tan x$ در مجموعۀ $[0,2\pi ]-\{\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\}$، اکیداً صعودی است.

پ) خط $x=2$ مماس قائم بر منحنی تابع $f(x)=\sqrt[3]{x-2}$ در نقطۀ $(2,0)$ است.

جاهای خالی را با عدد یا عبارت مناسب کامل کنید. (0/75)

الف) اگر نمودار تابع $f(x)=\sqrt[3]{x}$ را در راستای محور $x$ها، دو واحد به سمت چپ انتقال دهیم و آن را $g(x)$ بنامیم، آن‌گاه نمودار تابع $g^{-1}(x)$ از ناحیه ............ محورهای مختصات نمی‌گذرد.

ب) حاصل $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{x+1}{\tan x}$ برابر ............ است.

پ) اگر $f(x)=x^3+4x^2-1$ باشد، حاصل $f^{\prime \prime }(-1)$ برابر ............ است.

الف) اگر نمودار تابع $f$ به‌صورت زیر باشد، نمودار تابع $y=f(2x+1)$ را به کمک آن رسم کنید. (1)

ب) اگر دامنۀ تابع $g$ بازۀ $[-2,4]$ باشد، آن‌گاه دامنۀ تابع $k(x)=3g(-2x)$ را به‌دست آورید. (0/5)

نمودار تابع $f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{-x}& x<0\\ x^2& x>0\end{array}$ را رسم کنید. بزرگ‌ترین بازه‌ای که این تابع در آن اکیداً صعودی است را بنویسید. (0/75)

اگر چندجمله‌ای $p(x)=x^3+k{x}^2+2$ بر $x-k$ بخش‌پذیر باشد، مقدار $k$ را بیابید. (0/75)

نمودار داده شده در شکل زیر مربوط به تابع با ضابطۀ $y=a\cos (bx)+c$ است. اگر $b<0$ باشد، مقادیر $a$، $b$ و $c$ را به‌دست آورید. (راه‌حل نوشته شود.) (1/5)

معادلۀ مثلثاتی $\tan 5x=\tan x$ را حل کنید. سپس جواب‌هایی از آن را که در بازۀ $[0,\frac{\pi }{2}]$ قرار دارند، مشخص کنید. (1/25)

حدهای زیر را محاسبه کنید. (1)

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x+1}{{(x-3)}^2}$ (الف

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^3-4x^2}{-x^3\left|x\right|-2}$ (ب

مجانب‌های قائم و افقی منحنی تابع $f(x)=\frac{x-3}{x^2-9}$ را در صورت وجود به‌دست آورید. سپس وضعیت نمودار تابع $f$ را در همسایگی مجانب قائم آن نمایش دهید. (1/75)

اگر $f(2)=7$ و $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{2x-4}=5$ باشد، مشتق تابع $g(x)=xf(x)$ را در $x=2$ به‌دست آورید. (1)

اگر $f(x)=\left|x\right|(x-2)$ باشد، به کمک تعریف مشتق، مشتق‌پذیری تابع $f$ را در نقطۀ $x=0$ بررسی کنید. (1)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2/25)

$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^3-6x+1}$ (الف

$g(x)=2\tan x+{\cos }^5(2x^3)$ (ب

تابع $f(x)=7\sqrt{x}+50$ قد متوسط کودکان را بر حسب سانتی‌متر تا حدود 60 ماهگی نشان می‌دهد که در آن $x$ مدت‌زمان پس از تولد (برحسب ماه) است. (1/25)

الف) آهنگ متوسط رشد در بازۀ $[0,25]$ را به‌دست آورید.

ب) آهنگ لحظه‌ای تغییر قد کودک در 49 ماهگی را به‌دست آورید.

نقاط اکسترمم نسبی و مطلق تابع $f(x)=x^3-6x^2$ را در بازۀ $[-1,3]$ در صورت وجود بیابید. (1/5)

اگر $f(x)=a{x}^3+3x^2+1$ باشد، مقدار $a$ را طوری بیابید که $x=\frac{1}{2}$ طول نقطۀ عطف نمودار تابع باشد. (1)

جدول رفتار و نمودار تابع $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$ را رسم کنید. (2)