حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضیات گسسته دوازدهم شهریور 1403 (ریاضی) - امتحان نهایی شهریور 1403

جاهای خالی را با کلمات یا عبارت مناسب تکمیل کنید: (1)

الف) اگر $p$ عددی اول باشد و $a\in \mathbb{Z}$ و $p\nmid a$، $(p,a)=\cdots \cdots$

ب) گراف $-3$ منتظم، 8 رأسی دارای ............ یال است.

پ) در بین 390 دانش‌آموز، حداقل ............ نفر روز تولد یکسانی دارند.

ت) تعداد توابع یک به یک مانند $f:A\to B$ اگر بدانیم، $\left|A\right|=5,\left|B\right|=4$ برابر ............ است.

درستی یا نادرستی جملات زیر را مشخص کنید: (0/75)

الف) برای $n\ne 1,2,6$ دو مربع لاتین متعامد از مرتبه $n$ وجود ندارد.

ب) اگر ${\mathrm{deg}}_G(v)=5$ و $G$ یک گراف 10 رأسی باشد، آنگاه ${\mathrm{deg}}_{\overline{G}}(v)=4$.

پ) حاصل عبارت $\left(\left[-12,-18\right],30\right)$ برابر $-6$ است. ($\left(\right)$ نماد ب م م و $\left[\right]$ نماد ک م م است)

گزینه صحیح را انتخاب کنید: (0/25)

اگر $a,b\in \mathbb{R}$ کدام‌یک از ترکیب‌های دو شرطی زیر درست است؟

1) $a⟨b\iff a^2⟨b^2$

2) $a⟨b\iff a^3⟨b^3$

3) $a⟨b\iff {(a-b)}^2\ge 0$

4) $a⟨b\iff a^2⟨b^3$

ثابت کنید میانگین حسابی دو عدد نامنفی از میانگین هندسی آن‌ها کمتر نیست. (1/25)

هرگاه $a,b,c$ سه عدد صحیح و $a\ne 0$ و $a|b$ و $a|c$ ثابت کنید: $a|b\pm c$ (1/25)

اگر $a,b$ دو عدد صحیح و $ab$ فرد باشد، باقی‌مانده $a^2+b^2-5$ بر 8 را حساب کنید. (1/5)

ثابت کنید اگر $p\ge 3$ عددی اول باشد، آنگاه به یکی از دو صورت $p=4k+1$ یا $p=4k+3$ نوشته می‌شود. $(k\in \mathbb{Z})$ (0/75)

معادله $9x-1\stackrel{13}{\equiv }2x+1$ را حل کنید و تعداد جواب‌های دو رقمی طبیعی آن را به‌دست آورید. (1/5)

گراف $G$ زیر را در نظر بگیرید: (1/5)

الف) مقدار $q\left(\overline{G}\right)$ را به‌دست آورید.

ب) مجموع درجات رئوس گراف $\overline{G}$ را مشخص کنید.

پ) مجموعه $N_{\overline{G}}\left[e\right]$ را بنویسید.

در گراف کامل $K_p$ با 28 یال مقدار $2\Delta (K_p)-3\delta (K_p)+p$ را محاسبه کنید. (1)

7 دانش‌آموز $a,b,c,d,e,f,g$ از یک کلاس را در نظر بگیرید. فرض کنید دوستی بین اعضای این گروه یک رابطه دو طرفه است. یعنی هر دو نفر از آن‌ها یا هر دو با هم دوست‌اند یا هیچ‌یک با دیگری دوست نیست. اطلاعات زیر را داریم: (1/5)

- شخص $a$ با $b,g,d$ دوست می‌باشد. شخص $b$ با همه به‌جز $c$ دوست می‌باشد.

- شخص $e$ با $f$ دوست می‌باشد. شخص $d$ با $g$ دوست می‌باشد.

الف) برای رابطه دوستی فوق یک گراف ترسیم کنید.

ب) رأس یا رئوس ایزوله این گراف را مشخص کنید و تعبیر آن را در این رابطه دوستی بیان کنید.

پ) رابطه دوستی کدام چهار نفر تشکیل یک گراف کامل را می‌دهد.

گراف زیر را در نظر بگیرید: (1/5)

الف) آیا $\left\{a,h,j,f\right\}$ یک مجموعه احاطه‌گر برای این گراف می‌باشد؟ چرا؟

ب) آیا مجموعه $\left\{a,m,i,f,d\right\}$ احاطه‌گر مینیمال است؟ چرا؟

پ) یک مجموعه احاطه‌گر مینیمم شامل رأس $e$ بنویسید.

به چند طریق می‌توان از بین مدادهایی با رنگ‌های، زرد - آبی - قرمز - سبز، 11 مداد انتخاب کرد. اگر بخواهیم از مداد زرد رنگ حداقل دو تا و از مداد سبز رنگ بیش از سه تا داشته باشیم. (1/5)

الف) سه مدرس $C,B,A$ قصد دارند در یک روز در سه جلسه 10-8، 12-10، 14-12 در سه کلاس (الف) و (ب) و (ج) تدریس کنند. هر کلاس سه جلسه درسی خواهد داشت و هر مدرس در هر یک از کلاس‌ها دقیقاً یک‌بار باید تدریس کند. به کمک مربع لاتین چرخشی برای آن‌ها یک برنامه‌ریزی انجام دهید.

ب) در برنامه قبلی، مدرس $A$ تصمیم دارد با مدرس $B$ برنامه خود را جابه‌جا کند. مربع لاتین جدید را تشکیل دهید و متعامد بودن این دو مربع لاتین را بررسی کنید.

اگر یک قفل رمزدار شامل 4 رقم از صفر تا 5 باشد و بدانیم رمز بسته شده روی قفل حداقل یک رقم صفر و یک رقم 5 را شامل می‌شود، چند رمز متفاوت برای این قفل می‌توان ساخت؟ (1/5)

ثابت کنید در بین هر سه عدد طبیعی حداقل دو عدد طبیعی وجود دارد که مجموعشان عددی زوج است. (1/25)

با حروف کلمه «بادبادک باز» چند کلمه 10 حرفی می‌توان نوشت؟ (1)