حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس حسابان (2) دوازدهم دی 1401 - امتحان نهایی دی 1401

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (1)

الف) نقطه $(-8,6)$ روی نمودار $y=f(x)$ با نقطه $(-8,12)$ روی نمودار $y=\frac{1}{2}f(x)$ متناظر است.

ب) نمودار تابع $y=-{(x-3)}^3$ را می‌توان با 3 واحد انتقال نمودار $y=-x^3$ به سمت راست رسم کرد.

پ) تابع $f(x)=x^2-4x$ روی بازه $[2,+\infty )$ اکیداً صعودی است.

ت) اگر $f^{\prime }(1)=2$ و $g^{\prime }(1)=-3$ باشد، حاصل $(3f+g{)}^{\prime }(1)$ برابر 9 است.

جاهای خالی را با عبارت مناسب کامل کنید. (1/25)

الف) اگر مقدار $a$ برابر ............ باشد، تابع $f(x)=ax+b$ هم صعودی و هم نزولی است.

ب) دوره تناوب و مقدار ماکزیمم تابع $f(x)=3\sin 2x$ به ترتیب برابر ............ و ............ است.

پ) حاصل $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\left(\frac{x+1}{\tan x}\right)$ برابر ............ است.

ت) اگر تابع $f$ در $x=a$ پیوسته ............، آنگاه $f$ در $x=a$ مشتق‌پذیر نیست.

در چند جمله‌ای $p(x)=x^3+a{x}^2+b$ مقادیر $a$ و $b$ را چنان بیابید که باقیمانده تقسیم $p(x)$ بر $x+2$ برابر $-1$ و $p(x)$ بر $x-1$ بخش‌پذیر باشد. (1/5)

عبارت $\frac{x^5+1}{x+1}$ را ساده کنید. (1)

نمودار تابع $f(x)=a+\cos bx$ به‌صورت زیر است. حاصل $a+b$ را به‌دست آورید. $(b>0)$ (1)

معادله مثلثاتی $\cos 2x-\cos x+1=0$ را در بازه $0\le x\le \pi$ حل کنید. (1/5)

اگر $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{ax-3}{{(2-x)}^3}=+\infty$ باشد، حدود $a$ را تعیین کنید. (0/75)

مجانب افقی تابع $f(x)=\frac{x-4x^3}{x^3+5}$ را به‌دست آورید. (0/75)

کدام شکل وضعیت نمودار تابع $f(x)=\frac{2[x]}{4-x}$، در نزدیکی مجانب قائم آن است؟ دلیل خود را بنویسید. (1/25)

معادله خط مماس بر منحنی تابع $f(x)=\sqrt[3]{x}$ را در نقطه‌ای به طول $x=0$ واقع بر نمودار تابع بنویسید. (1)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست) (2/25)

الف) $f(x)=\sqrt{7x}(3x^2+2)$

ب) $g(x)={\cos }^3(2x)-\frac{1}{x}$

با توجه به نمودار تابع $f$، نمودار $f^{\prime }$ را با ذکر دلیل مشخص کنید. (0/75)

یک توده باکتری پس از $t$ ساعت دارای جرم $m(t)=\sqrt{t}+2t$ گرم است. در چه لحظه‌ای، آهنگ رشد جرم توده باکتری برابر آهنگ تغییر متوسط آن در بازه زمانی $0\le t\le 4$ می‌شود؟ (1/5)

یک مستطیل در یک نیم دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به‌دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد. (1/25)

جدول رفتار و نمودار تابع $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x$ را رسم کنید. (2/25)

فرض کنید $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$، محل تقاطع مجانب‌های آن، نقطه $(2,1)$ است. اگر این تابع از نقطه $(-1,0)$ بگذرد، ضابطه تابع را به‌دست آورید.