حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس هندسه (3) دوازدهم دی 1401 - امتحان نهایی دی 1401

اگر$A=\left[\begin{array}{cc}m& 0\\ m-2& n\end{array}\right]$ ماتریسی اسکالر باشد، مقادیر $m$ و $n$ را بیابید. (0/75)

اگر $B={\left[b_{ij}\right]}_{3\times 3},b_{ij}=\{\begin{array}{c}i+1\\ j-2\\ 1\end{array}\begin{array}{c}i=j\\ i<j\\ i>j\end{array}$ ماتریس $B$ را به‌صورت آرایش مستطیلی بنویسید. (0/5)

ماتریس $\left(B^2+2I\right)$ را محاسبه کنید. ($I$ ماتریس همانی مرتبه سه است) (1)

اگر $A=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& -1\end{array}\right]$، نشان دهید: (1/5)

${\left(5A\right)}^{-1}=\frac{1}{5}{A}^{-1}$

با استفاده از ویژگی‌های ضرب ماتریس‌ها و ماتریس همانی $I$ درستی رابطه زیر را ثابت کنید: (1)

${(A-3I)}^2=A^2-6A+9I$

اگر $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 6& 2\\ 1& -1& 2\end{array}\right]$، حاصل $\left|-\frac{1}{2}{A}^4\right|$ را به‌دست آورید. (1/25)

هرگاه دو خط $d$ و $l$ موازی باشند، از دوران $d$ حول $l$ سطحی ایجاد می‌شود. اگر صفحۀ $P$ بر خط $l$ عمود باشد، سطح مقطع صفحۀ $P$ و سطح ایجاد شده بیضی است. (درست – نادرست) (0/25)

مکان هندسی مرکز همه دایره‌های با شعاع ثابت یک، که بر دایره ${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=16$ مماس خارج باشند، دایره‌ای به مرکز $O(1,-2)$ و شعاع ............ است. (0/25)

معادلۀ دایره‌ای را بنویسید که $O(2,-1)$ مرکز آن بوده و از خط $3x-4y+10=0$ وتری به طول 6 جدا کند. (1/25)

در دایره به معادلۀ ضمنی $x^2+y^2+ax+by+c=0$ با استفاده از روش مربع کامل، ثابت کنید شعاع دایره برابر با $r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}$ است. (1)

در یک بیضی مختصات کانون‌ها $F(4,0)$ و $F^{\prime }(-2,0)$ و طول قطر بزرگ برابر با 10 است. اگر نقطه $P\left(1,m\right)$ روی این بیضی قرار داشته باشد، مقدار $m$ را بیابید. (1/25)

بیضی با قطر بزرگ $2a$، قطر کوچک $2b$ و کانون‌های $F$ و $F^{\prime }$ مطابق شکل زیر مفروض است. اگر خطی در کانون $F$ بر قطر کانونی عمود باشد و بیضی را در نقطه $D$ قطع کند، ثابت کنید: (1/25)

$DF=\frac{b^2}{a}$

معادلۀ سهمی را بنویسید که $F(-3,2)$ مختصات کانون و معادله خط هادی آن $x=1$ باشد. (1/25)

مختصات نقاط برخورد سهمی $y^2+7x+5=0$ و دایرۀ $x^2+y^2=25$ را به‌دست آورید. (1/5)

معادلۀ صفحه‌ای که بر محور $Z$ها در نقطه به مختصات $A=(0,0,3)$ عمود باشد، به صورت ............ است. (0/25)

شکل کلی (نمودار) مربوط به روابط $y<-x^2+1,-2<y\le -1$ را در فضای دو بعدی رسم کنید. (1)

اگر زاویه بین دو بردار $\vec{a}=(2,-1,n)$ و $\vec{b}=(1,0,-1)$ برابر با 135 درجه باشد، مقدار $n$ را بیابید. (1/5)

ثابت کنید اگر دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$ در یک راستا باشند، آنگاه تصویر قائم $\vec{a}$ بر امتداد $\vec{b}$، برابر خود $\vec{a}$ می‌شود. (1/25)

سه بردار $\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$ و $\vec{b}=\vec{i}+\vec{k}$ و $\vec{c}=(0,2,1)$ را در نظر بگیرید: (2)

الف) طول بردار $2\vec{b}-\vec{c}$ را به‌دست آورید.

ب) مساحت متوازی‌الاضلاع که روی دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}+\vec{c}$ ایجاد می‌شود را به‌دست آورید.