حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان شبه‌نهایی درس ریاضی (1) دهم اردیبهشت 1403 نوبت صبح - امتحان شبه‌نهایی دهم اردیبهشت 1403 (ریاضی)

در هر یک از عبارت‌های زیر، پاسخ صحیح را از بین پاسخ‌های داخل پرانتز انتخاب کنید و در پاسخ‌نامه بنویسید. (1/25)

الف) مجموعه تهی، یک مجموعه ............ است. (نامتناهی ، متناهی)

ب) جمله ششم الگوی $5,8,13,20,\dots$ برابر ............ است. (40 ، 36)

پ) واسطه هندسی بین دو عدد 8 و 18 برابر ............ است. (13 ، 12)

ت) اگر $\sin \theta$ مثبت و $\cos \theta$ منفی باشد، زاویه $\theta$ در ربع ............ دایره مثلثاتی قرار دارد. (دوم ، چهارم)

ث) اگر $b$ و $a$ دو عدد مثبت باشند، تساوی ............ همواره درست است. ($\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ، $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$)

در هر مورد، جای خالی را با یک کلمه یا عدد مناسب، کامل کنید. (1/25)

الف) طول بازه $(-3,7)$ برابر ............ است.

ب) نمایش $\sqrt{{(-7)}^2}$ را به‌صورت عدد صحیح ............ می‌توان نوشت.

پ) کسر $\frac{\sin {38}^{\circ }}{\cos {38}^{\circ }}$ برابر $\cot (\cdots {\cdots }^{\circ })$ است.

ت) اگر $\alpha$ زاویه‌ای باشد که یک خط، با جهت مثبت محور افقی می‌سازد، آنگاه شیب خط برابر ............ است.

ث) برای عدد صفر، فاکتوریل به‌صورت $0!=\cdots \cdots$ تعریف می‌شود.

دنباله حسابی روبه‌رو را در نظر بگیرید. (1)

$8,5,2,\dots$

جمله پانزدهم این دنباله را به کمک جمله عمومی، به‌دست آورید.

در یک کلاس 37 نفری 17 نفر عضو گروه آموزشی و 25 نفر عضو گروه فرهنگی هستند. اگر 3 نفر عضو هیچ یک از این دو گروه نباشند، تعیین کنید چند نفر هم عضو گروه آموزشی و هم عضو گروه فرهنگی هستند؟ (1)

مطابق شکل مقابل، یک بالن توسط دو طناب $AB$ و $AC$، به زمین بسته شده است. اگر طول طناب $AB$  برابر 36 متر باشد. با توجه به شکل، ابتدا ارتفاع بالن را تعیین و سپس طول طناب $AC$ را محاسبه کنید. $(\sin {65}^{\circ }\cong 0/9)$ (1/5)

با فرض با معنی بودن عبارت مقابل، حاصل آن را محاسبه کنید. (1/25)

$\frac{\sin x-{\sin }^{3}x}{{\cos }^{3}x}\times \cot x$

حاصل عبارت مقابل را به‌دست آورید. (1)

$5\sqrt{\sqrt[3]{64}}-{(8^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}$

مخرج کسر روبه‌رو را گویا کنید. (1)

$\frac{6}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}$

کسر $\frac{x^2-5xy+6y^2}{x^2-4y^2}$ را تا حد امکان ساده کنید. (1)

به کمک تشکیل معادله و حل آن، مسئله زیر را حل کنید. (1/5)

یک عکس به ابعاد 10 در 20 سانتی‌متر، درون یک قاب با مساحت 600 سانتی‌متر مربع قرار دارد. اگر فاصله همه لبه‌های عکس تا قاب برابر باشد. ابعاد این قاب عکس را پیدا کنید.

نامعادله مقابل را به روش تعیین علامت حل کنید. (1)

$\frac{3-x}{4+2x}>0$

نمودار سهمی به معادله $y=6x-x^2$ را رسم کنید. (1)

الف) تابعی مثال بزنید که دامنه و برد آن برابر باشند، ولی همانی نباشد. (0/5)

ب) نمودار تابع $f$ یک خط راست موازی محور $x$ها است و $f(5)=4$. اگر نمودار تابع $g$ نیمساز ناحیه اول و سوم باشد، آنگاه حاصل $2f(9)-g(8)$ را محاسبه کنید. (دلیل خود را به‌طور کامل بنویسید.) (0/75)

نمودار تابع $f$ در شکل مقابل را در نظر بگیرید و سپس به سؤالات زیر پاسخ دهید. (1/25)

الف) مقدار $f(0)$ چقدر است؟

ب) دامنه و برد را بنویسید.

پ) نمودار تابع $g(x)=f(x)+2$ را رسم کنید.

در تابع خطی $f$ داریم $f(2)=1$ و $f(1)=-2$. ضابطه این تابع را بنویسید. (1)

با اعداد 2 و 3 و 5 و 7 چند عدد سه رقمی با ارقام غیرتکراری می‌توان نوشت؟ روش حل خود را بنویسید. (0/5)

مسئله‌ای طرح کنید که جواب آن برابر $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$ است. (0/75)

معادله روبه‌رو را حل کنید. (0/75)

$P(5,2)=2n+C(5,3)$

نُه نقطه متمایز روی محیط یک دایره قرار دارند. چند مثلث مختلف می‌توان کشید که رئوس آن، از این نُه نقطه انتخاب شده‌اند؟ (روش حل خود را بنویسید.) (0/75)