حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان شبه‌نهایی درس ریاضی (1) دهم اردیبهشت 1403 نوبت عصر - امتحان شبه‌نهایی دهم اردیبهشت 1403 (ریاضی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) ریشه پنجم عدد 32 برابر عدد 2 است.

ب) تابعی را که برد آن تنها شامل یک عضو است، تابع ثابت می‌نامیم.

پ) جواب نامعادله قدرمطلقی $\left|x-3\right|\le 2$ برابر بازه $(1,8)$ است.

ب) عبارت $x^2+x+1$ به‌ازای جمیع مقادیر $x$ همواره منفی است.

در جاهای خالی عبارت مناسب قرار دهید. (0/75)

الف) در یک الگوی خطی با جمله عمومی $t_n=-2n-3$ هر جمله نسبت به جمله قبل از خودش ............ واحد کاهش می‌یابد.

ب) قدرنسبت دنباله هندسی که جملات دوم و پنجم آن به‌ترتیب برابر با 6 و 162 باشند، برابر ............ است.

پ) از بین $n$ نفر، به 45 روش متفاوت می‌توان 2 نفر را انتخاب کرد، در این صورت $n$ برابر ............ است.

گزینه صحیح را در هر یک از سؤالات زیر انتخاب کنید. (0/75)

الف) اگر $A\subseteq B$ باشد آنگاه کدام گزینه همواره درست است؟

1) $A^{\prime }=B^{\prime }$

2) $B^{\prime }\subseteq A^{\prime }$

3) $A^{\prime }-B^{\prime }=\varphi$

4) $A^{\prime }\cup B^{\prime }=U$

ب) اگر رابطه $\sqrt{a}<\sqrt[3]{a}$ برقرار باشد، حدود $a$ کدام است؟

1) $0<a<1$

2) $a>1$

3) $-1<a<0$

4) $a<-1$

پ) کدام‌یک از نمایش‌های زیر بیانگر یک تابع نیست؟

1) $\left\{(2,1),(3,5),(-1,1)\right\}$

2)

3)

4)

در یک کلاس 32 نفره، 18 نفر عضو گروه سرود، 15 نفر عضو گروه تئاتر و 5 نفر عضو هیچ یک از این دو گروه نیستند. تعداد نفراتی را که فقط عضو یکی از این دو گروه هستند، به‌دست آورید. (1/25)

در یک دنباله حسابی، مجموع سه جمله اول 21 و مجموع سه جمله بعدی آن 57 است. قدرنسبت دنباله را به‌دست آورید. (1)

مساحت مثلث $ABC$ را به‌دست آورید. (1/25)

با فرض با معنی بودن کسرها، درستی تساوی مقابل را ثابت کنید. (1/25)

$\frac{1}{cos\alpha }-\tan \alpha =\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }$

$\alpha$ زاویه‌ای در ربع دوم دایره مثلثاتی و $\tan \alpha =-\frac{12}{5}$ است. با استفاده از روابط بین نسبت‌های مثلثاتی، مقدار $\cos \alpha$ را به‌دست آورید. (1)

الف) حاصل عبارت $\frac{1}{\sqrt[3]{a}-1}-\frac{1}{a-1}$ را به‌دست آورید. (1/25)

ب) عبارت $a^4-b^4$ را تا حد امکان تجزیه کنید. (0/75)

حاصل عبارت روبه‌رو را به دو صورت عدد توان‌دار و عدد رادیکالی بنویسید. (1)

$2^{\frac{2}{3}}\times 2^{\frac{3}{2}}$

نمودار سهمی به معادله $y=-2x^2+4x-3$ را با به‌دست آوردن مختصات رأس سهمی و استفاده از دو نقطه کمکی رسم کنید. (1/5)

عبارت $\frac{x^2-9}{x+1}$ را با رسم جدول تعیین علامت کنید. (1/5)

برای تابع خطی $f$ می‌دانیم $f(3)=2,f(2)=-1$. نمایش جبری تابع $f$ را به‌دست آورید. (1/5)

الف) نمودار تابع $f(x)=\{\begin{array}{cc}\left|x-1\right|& x<3\\ 2& 3\le x<5\end{array}$ را رسم کنید. (1)

ب) دامنه تابع قسمت (الف) را مشخص کنید. (0/5)

تعداد اعداد چهار رقمی زوج را که می‌توان با ارقام $9,5,8,3,1,0$ و بدون تکرار ارقام نوشت، به‌دست آورید. (1/25)

در یک دوره مسابقات کشتی از بین 5 داور ایرانی، 3 داور اسپانیایی و 4 داوره کره‌ای قرار است کمیته‌ای 5 نفره از داوران تشکیل شود. به چند روش می‌توان این کار را انجام داد به‌طوری که حداقل سه داور کره‌ای در این کمیته حضور داشته باشند؟ (1/5)