حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس هندسه (3) دوازدهم شهریور 1401 (ریاضی) - امتحان نهایی شهریور 1401

الف) اگر دو ماتریس$A=\left[\begin{array}{cc}2x-1& 3\\ 2& 0\end{array}\right]$ و $B=\left[\begin{array}{cc}5& 3\\ 2& 0\end{array}\right]$ مساوی باشند، آنگاه مقدار $x$ برابر با ............ است. (0/5)

ب) اگر $A=\left[\begin{array}{cc}2& m+1\\ 2n+4& 5\end{array}\right]$ یک ماتریس قطری باشد، با محاسبه $m$ و $n$ ماتریس $A+I$ را بیابید. ($I$ ماتریس همانی مرتبه دو است.) (1/5)

اگر دو ماتریس مربعی $A$ و $B$ به‌صورت $A={\left[3i-2j\right]}_{3\times 3}$ و $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 3\\ -1& 2& 1\end{array}\right]$ باشند، (1)

الف) ماتریس $A$ را به‌صورت آرایش مستطیلی بنویسید.

ب) ماتریس $B^2$ را محاسبه کنید.

اگر $A$ و $B$ دو ماتریس مربعی مرتبه 3 و تعویض‌پذیر باشند، ثابت کنید: ${(A-B)}^2=A^2-2AB+B^2$ (1)

اگر ماتریس $A=\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 3\end{array}\right]$ باشد، وارون ماتریس $A-2I$ را بیابید. ($I$ ماتریس همانی مرتبه دو است.) (1)

الف) در دستگاه $\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$، اگر $\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}\ne \frac{c}{c^{\prime }}$ آنگاه دستگاه بی‌شمار جواب دارد. (درست - نادرست) (0/25)

ب) اگر $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]$ باشد، حاصل $\Vert A\left|A\right|$ را بیابید. (0/75)

الف) اگر صفحۀ $P$ بر محور سطح مخروطی عمود نباشد و با مولد موازی نباشد و فقط یکی از دو نیمه سطح مخروطی را قطع کند، در این صورت فصل مشترک صفحه $P$ و سطح مخروطی یک ............ است. (0/25)

ب) سهمی، مکان هندسی نقاطی از یک صفحه است که از یک خط ثابت در آن صفحه و یک نقطه ثابت غیرواقع بر آن خط در آن صفحه به یک فاصله باشد. (درست - نادرست) (0/25)

دو نقطه $A$ و $B$ و خط $d$ که شامل هیچ‌یک نیست در صفحه مفروض‌اند. نقطه‌ای بیابید که از $A$ و $B$ به یک فاصله بوده و از خط $d$ به فاصله 3 سانتی‌متر باشد. (1/5)

الف) حدود $a$ را طوری به‌دست آورید که $x^2+y^2-4x+6y+a=0$ معادله یک دایره باشد. (0/5)

ب) وضعیت خط $x+y=1$ و دایره $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ را نسبت به هم مشخص کنید. (1/5)

اگر $M$ نقطه‌ای بیرون بیضی باشد، ثابت کنید مجموع فواصل نقطه $M$ از کانون‌های $F$ و $F^{\prime }$ بزرگ‌تر از طول قطر بزرگ بیضی است. (1/25)

اگر در یک بیضی طول $A{A}^{\prime }$ (قطر بزرگ) برابر با 16 و خروج از مرکز $\frac{3}{4}$ باشد، فاصله رأس $A$ تا نزدیک‌ترین کانون را به‌دست آورید. (0/75)

الف) معادله سهمی را بنویسید که $A(2,3)$ رأس آن بوده و معادله خط هادی آن $x=3$ باشد. (1)

ب) مختصات کانون سهمی را بیابید. (0/5)

پ) مختصات نقطه برخورد سهمی با محور طول‌ها را حساب کنید. (0/5)

الف) در فضای سه‌بعدی، نمودار مربوط به معادلات $\{\begin{array}{c}x=0\\ z=0\end{array}$، معادله محور ............ است. (0/25)

ب) اگر $\vec{a}$ و $\vec{b}$ دو بردار دلخواه، $r$ عدد حقیقی و $\vec{b}=r\vec{a}$ آنگاه $|\vec{b}|=\left|r\right|\left|\vec{a}\right|$. (درست - نادرست) (0/25)

پ) شکل کلی (نمودار) مربوط به رابطه $y=x^2,-1<x\le 2$ را در فضای دوبعدی رسم کنید. (0/75)

ت) طول بردار $\vec{a}=(0,-3,4)$ را به‌دست آورید. (0/5)

مقدار $m$ را چنان بیابید که دو بردار $\vec{a}=(2,m,-1)$ و $\vec{b}=(m+1,3,2)$ بر هم عمود باشند. (1)

اگر $\left|\vec{a}\right|=3$ و $|\vec{b}|=5$ و حاصل‌ضرب داخلی دو بردار 10 باشد، مساحت مثلثی که توسط دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$ تولید می‌شود چقدر است؟ (2)

حجم متوازی‌السطوحی را به‌دست آورید که توسط سه بردار $\vec{a}=(1,0,-1)$ و $\vec{b}=(0,2,2)$ و $\vec{c}=(2,-3,0)$ تولید می‌شود. (1/25)