حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضیات گسسته دوازدهم شهریور 1401 (ریاضی) - امتحان نهایی شهریور 1401

هر یک از گزاره‌های زیر را اثبات و یا با ارائه مثال نقض کنید. (1)

الف) برای هر عدد طبیعی $n$، عدد $2^n+1$ اول است.

ب) مربع هر عدد فرد، عددی فرد است.

$a_1$، $a_2$، $a_3$ اعدادی صحیح هستند و $b_1$، $b_2$، $b_3$ هم همان اعداد ولی به ترتیب دیگری قرار گرفته‌اند.

ثابت کنید $(a_1-b_1)(a_2-b_2)(a_3-b_3)$ عددی زوج است. (1/25)

اگر عدد طبیعی $a$، دو عدد $(5k+9)$ و $(8k+13)$ را عاد کند، ثابت کنید: $a=1$ یا $a=7$. (0/75)

اگر باقیماندۀ تقسیم عدد $a$ بر دو عدد 6 و 7 به ترتیب 3 و 5 باشد، باقیماندۀ تقسیم عدد $a$ را بر 42 بیابید. (1)

ثابت کنید باقیماندۀ تقسیم هر عدد بر 9، برابر است با باقیماندۀ تقسیمِ مجموع ارقام آن عدد بر 9. (1/25)

دانش‌آموزی در یک آزمون علمی شرکت کرده است، او به سؤالات 5 امتیازی و 3 امتیازی پاسخ داده و مجموعاً 42 امتیاز کسب کرده است. (پاسخ به هر سؤال یا امتیاز کامل دارد و یا امتیازی ندارد.)

این دانش‌آموز به چه صورت‌هایی توانسته این امتیاز را کسب کند؟ (1/75)

با توجه به گراف $(G)$ (شکل زیر) به سؤالات زیر پاسخ دهید. (2/25)

الف) یک مسیر به طول 3 از $a$ به $c$ بنویسید.

ب) یک دور به طول 4 مشخص کنید.

پ) درجۀ رأس $a$ را در گراف $\overline{G}$ تعیین کنید.

ت) آیا گراف $G$ همبند است؟ (با ذکر دلیل)

ث) $N_G\left[f\right]$ را بنویسید.

به سؤالات زیر پاسخ داده و برای آن‌ها دلیل ارائه کنید. (1)

الف) یک گراف کامل 11 رأسی چند یال دارد؟

ب) در یک گراف از مرتبۀ 8 با $\Delta =3$، حداقل چند رأس برای احاطه همه رئوس لازم است؟

به سؤالات زیر پاسخ دهید: (1/5)

الف) گراف $C_8$ را رسم کنید.

ب) یک $-\gamma$مجموعه از آن مشخص کنید.

پ) یک مجموعۀ احاطه‌گر مینیمال $-4$ عضوی از آن را مشخص کنید.

با توجه به گراف $(G)$ به سؤالات زیر پاسخ دهید. (1/25)

الف) عدد احاطه‌گری را برای گراف زیر مشخص کنید.

ب) یک مجموعۀ احاطه‌گر مینیمال مشخص کنید که مینیمم نباشد.

به چند طریق می‌توان 45 دانش‌آموز را در چهار کلاس 8 نفره، 10 نفره، 12 نفره و 15 نفره در یک مدرسه قرار داد؟ (1)

برای کنار هم قرار گرفتن 4 دانش‌آموز پایۀ دوازدهم و 6 دانش‌آموز پایۀ یازدهم مسئله‌ای طرح کنید که پاسخ آن $7!\times 4!$ باشد. (1)

تعداد جواب‌های صحیح و نامنفی معادله زیر را با شرایط داده شده به‌دست آورید. (1/5)

$x_1+4x_2+x_3+x_4+x_5=9(x_i\ge 0,1\le i\le 4,x_5=2)$

دو مربع لاتین متعامد $3\times 3$ را بنویسید. (دلیل متعامد بودن آن‌ها را بیان کنید.) (1/25)

تعداد توابع یک‌به‌یک، از یک مجموعۀ 5 عضوی به یک مجموعۀ 7 عضوی را به‌دست آورید. (راه‌حل نوشته شود) (1/25)

حداقل چند نقطه از داخل مثلثی متساوی‌الاضلاع به طول ضلع 2، انتخاب کنیم تا مطمئن باشیم حداقل دو نقطه از آن‌ها فاصله‌شان کمتر از 1 است؟ (1)