حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس حسابان (2) دوازدهم شهریور 1401 (ریاضی) - امتحان نهایی شهریور 1401

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (0/5)

الف) تابع تانژانت در هر بازه‌ای که در آن تعریف شده باشد، صعودی است.

ب) اگر برای تابع $f$ داشته باشید $f^{\prime \prime }(c)=0$ آنگاه همواره نقطه $(c,f(c))$ نقطه عطف تابع است.

جاهای خالی را با عبارت مناسب کامل کنید. (0/5)

الف) اگر تابعی در یک فاصله هم صعودی و هم نزولی باشد، تابع در آن فاصله ............ است.

ب) اگر $f$ یک تابع و $I\subseteq D_f$ یک همسایگی از نقطه $c$ باشد که به ازای هر $x$ متعلق به $I$ داشته باشیم $f(x)\le f(c)$، در این صورت $f(c)$ را یک ............ تابع f می‌نامیم.

الف) نمودار تابع $f(x)=\sqrt{x}$ را در بازه $\left[0,4\right]$ رسم کنید. (0/25)

ب) به کمک نمودار $f(x)$ نمودار تابع $g(x)=2f(x-1)$ را رسم کنید. سپس دامنه و برد $g$ را تعیین کنید. (0/75)

اگر باقیمانده تقسیم چندجمله‌ای $p(x)=x^4+k{x}^2-3$ بر $x+1$ برابر 2 باشد، $k$ را تعیین کنید. (0/75)

اگر ${(\frac{1}{3})}^{2x+1}\le (\frac{1}{27})$ باشد، حدود $x$ را به‌دست آورید. (1)

چندجمله‌ای $x^5+32$ را بر حسب عامل $x+2$ تجزیه کنید. (0/5)

معادله مثلثاتی $2{\cos }^{2}x+\cos x=0$ را حل کنید. (1/25)

نمودار داده شده مربوط به تابعی با ضابطه $y=a\sin bx+c$ است. مقادیر $a$ و $b$ و $c$ را محاسبه کنید و ضابطه آن را مشخص نمایید. (1/5)

حدود زیر را بیابید. (1/5)

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{\left[x\right]-2}{x-2}$ (الف

$\underset{x\to {(\frac{\pi }{2})}^{+}}{\lim }\frac{2}{\tan x}$ (ب

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^2+2x+1}{4x-1}$ (پ

با توجه به نمودار تابع $f$، موارد زیر را به‌دست آورید.

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)$ (الف

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)\\ \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)\end{array}$ (ب

اگر خط $y=2$ مجانب افقی تابع $f(x)=\frac{a{x}^2+1}{2x^2-3x}$ باشد، مقدار $a$ را بیابید. (0/5)

مشتق‌پذیری تابع $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2+1& x\ge 1\\ 3x-1& x<1\end{array}$ را در $x=1$ بررسی کنید. (1/5)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2/75)

$f(x)={(4x^2-5x)}^3(\sqrt{x}+1)$ (الف

$g(x)=\frac{9x+1}{x-x^2}$ (ب

$h(x)=\sin (3x^2)$ (پ

با در نظر گرفتن نمودار تابع $f$ در شکل زیر از بین نقاط مشخص‌شده مطلوب است طول نقطه‌ای که: (0/75)

الف) تابع در آن مشتق‌پذیر نیست.

ب) مماس در آن موازی محور طول‌هاست.

پ) مشتق و مقدار تابع در آن مثبت است.

معادله حرکت متحرکی به‌صورت $f(t)=2t^2-t+3$ بر حسب متر است. ($t$ بر حسب ثانیه است.) (1)

الف) سرعت متوسط تابع در بازه $\left[0,3\right]$ را به‌دست آورید.

ب) سرعت لحظه‌ای تابع را در $t=4$ به‌دست آورید.

ضرایب $a$ و $b$ را در تابع $f(x)=x^3+ax-b$ طوری پیدا کنید که نقطه $(1,2)$ اکسترمم نسبی تابع باشد. (1)

جهت تقعر و مختصات نقطه عطف تابع $f(x)=x(x^2-3)+1$ را تعیین کنید. (1)

جدول رفتار و نمودار تابع $f(x)=\frac{x+3}{1-x}$ رسم کنید. (2)