حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضیات گسسته دوازدهم شهریور 1402 - امتحان نهایی دوازدهم شهریور 1402 (ریاضی)

درست یا نادرست بودن گزاره‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) حاصل‌ضرب هر عدد گویا، در یک عدد گنگ، عددی گنگ است.

ب) برای اعداد صحیح $a$، $b$ و $c$ که $a\ne 0$، اگر $a|b+c$ آن‌گاه $a|b$ یا $a|c$.

ج) معادلۀ هم‌نهشتی $ax\stackrel{m}{\equiv }b$ دارای جواب است اگر و فقط اگر $(a,m)|b$.

د) اگر داشته باشیم $(a,b)=1$ آن‌گاه می‌گوییم؛ $a$ و $b$ نسبت به هم اول‌اند.

برای هر دو عدد حقیقی $x$ و $y$، به روش بازگشتی (گزاره‌های هم‌ارز) نشان دهید: (1/25)

$2x^2+2xy+y^2\ge 4x-4$

به روش برهان خلف نشان دهید؛ اگر $a$ عدد صحیحِ فرد باشد و $b|a+2$، آن‌گاه $b$ نیز عددی فرد است. (1)

اگر عددی مانند $k$ در $\mathbb{Z}$ باشد به‌طوری که $7|2k+1$، ثابت کنید: (1/25)

$49|4k^2-10k-6$

باقی‌مانده تقسیم عدد $A={63}^{14}+1$ را بر 16 به‌دست آورید. (1)

معادلۀ هم‌نهشتی $1402x\stackrel{9}{\equiv }11$ را حل کنید. (1/5)

جاهای خالی را با عبارات مناسب کامل کنید. (1)

الف) گرافی را که بین هر دو رأس آن حداقل یک مسیر وجود داشته باشد، گرافِ ............ می‌گوییم.

ب) تعداد رئوس فرد هر گراف عددی ........... است.

ج) مینیمم درجه در گراف کامل از مرتبه $p$ برابر ............ است.

د) گرافی را که درجۀ تمام رئوس آن با هم مساوی و برابر با عدد $k$ باشد، گرافِ ............ می‌گوییم.

گراف $G$ به‌صورت زیر رسم شده است. با توجه به این گراف به سؤالات زیر پاسخ دهید. (2/5)

الف) مرتبه و اندازه آن را بنویسید.

ب) مجموع درجات رئوس این گراف را به‌دست آورید.

ج) مجموعۀ $N_G[c]$ را بنویسید.

د) دوری به طول 4 در این گراف بنویسید.

ه) حاصل عبارت $q(\bar{G})+{\mathrm{deg}}_{\bar{G}}(g)$ را به‌دست آورید.

گراف زیر را در نظر بگیرید: (2/5)

الف) عدد احاطه‌گری گراف را با ذکر دلیل، به‌دست آورید.

ب) یک مجموعۀ احاطه‌گر مینیمال 8 عضوی بنویسید.

ج) یک مجموعۀ احاطه‌گر غیرمینیمال 4 عضوی بنویسید.

چهار برادر و سه خواهر می‌خواهند در یک ردیف کنار هم بایستند و عکس یادگاری بگیرند. اگر همواره خواهرها کنار هم و برادرها کنار هم قرار بگیرند، آن‌گاه این عمل به چند طریق امکان‌پذیر است؟ (1)

با ارقام 2، 3، 1، 2، 2، 1، 1 و 1 چند کد 8 رقمی می‌توان نوشت؟ (0/75)

معادلۀ $x_1+x_2+x_3+x_4=12$ چند جواب صحیح و نامنفی دارد به شرط آنکه $x_2=4$ و $x_4\ge 3$ باشد؟ (1/5)

ابتدا شرط متعامد بودن دو مربع لاتین را نوشته و سپس دو مربع لاتین متعامد از مرتبه 3 بنویسید. (1/5)

در بین اعداد طبیعی 1 تا 500 $(1\le n\le 500)$ چند عدد وجود دارد که بر هیچ یک از اعداد 4 و 5 بخش‌پذیر نباشد؟ (1/25)

یک نجار در هفته 4 مدل مختلف صندلی در 3 رنگ متفاوت می‌سازد. او در یک هفته حداقل چند صندلی بسازد تا مطمئن باشیم، لااقل 3 صندلی هم‌ رنگ و هم ‌مدل ساخته است؟ (1)