حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس هندسه (3) دوازدهم شهریور 1402 - امتحان نهایی دوازدهم شهریور 1402 (ریاضی)

الف) اگر در ماتریس قطری تمام داریه‌های روی قطر اصلی با هم برابر باشند، آن را ماتریس ............ می‌نامند. (0/25)

ب) اگر $A=\left[\begin{array}{cc}-\sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right]$ باشد، آن‌گاه دترمینان ماتریس $A$ برابر ............ است. (0/25)

پ) هر ماترسی مربعی وارون‌پذیر است. (درست - نادرست) (0/25)

ماتریس $A={\left[a_{ij}\right]}_{2\times 2}$ به‌صورت $a_{ij}=\{\begin{array}{cc}{i}^2-j& i>j\\ i+j& i\le j\end{array}$ داده شده است، ماتریس $A^{-1}$ را به‌دست آورید. (1/25)

در تساوی $\left[\begin{array}{cc}x& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right]=0$، مقدار $x$ را بیابید. (1/25)

اگر $3A=\left[\begin{array}{cc}\left|A\right|& -5\\ 1& 4\left|A\right|\end{array}\right]$ باشد، مقدار $\left|A^{-1}\right|$ را محاسبه کنید. (1/5)

مقدار $m$ را طوری بیابید که دستگاه $\{\begin{array}{c}mx+9y=m+1\\ 4x+my=-4\end{array}$ جواب نداشته باشد. (1/25)

الف) اگر صفحه‌ای بر محور سطح مخروطی عمود نباشد و با مولد آن موازی نباشد و از رأس عبور نکند، آن‌گاه سطح مقطع حاصل یک ............ است. (0/25)

ب) در هر سهمی، هر شعاع نوری که از کانون آن به بدنه سهمی بتابد، بازتاب آن موازی با محور سهمی باز خواهد گشت. (درست - نادرست) (0/25)

نقاط $A$، $B$، $C$ و $D$ در صفحه مفروض‌اند. نقطه‌ای در این صفحه بیابید که از $A$ و $B$ به یک فاصله و از $C$ و $D$ نیز به یک فاصله باشد. (بحث کنید.) (1)

معادله دایره‌ای را بنویسید که مرکز آن $O(0,1)$ بوده و روی خط $3x+4y+6=0$ وتری به طول $2\sqrt{5}$ جدا کند. سپس محل تلاقی آن دایره با محور $y$ها را بیابید. (1/5)

وضعیت دو دایره به معادلات ${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=1$ و $x^2+y^2+6x+2y-6=0$ را نسبت به هم تعیین کنید. (با ارائه راه‌حل) (1/25)

در یک بیضی با کانون‌های $F$ و $F^{\prime }$، طول قطر کوچک نصف طول قطر بزرگ است. اندازه زاویه $F\hat{B}{F}^{\prime }$ را به‌دست آورید. (1/25)

معادله سهمی با کانون $F(1,2)$ و خط هادی $x=-3$ را بنویسید. (1/5)

در شکل مقابل، نقطه $M$ روی بیضی با کانون‌های $F$ و $F^{\prime }$ مشخص شده است. خط $d$ را به‌گونه‌ای رسم کنید که در نقطه $M$ بر بیضی مماس باشد و سپس از نقطه $F^{\prime }$ خطی موازی با $MF$ رسم کنید تا خط $d$ را در نقطه‌ای مانند $N$ قطع کند. ثابت کنید $N{F}^{\prime }=M{F}^{\prime }$. (1)

الف) نقطه $(-2,3,-1)$ در ناحیه ششم مختصاتی قرار دارد. (درست - نادرست) (0/25)

ب) حاصل $((\vec{i}\times \vec{k})\times \vec{i})\cdot \vec{j}$ برابر ............ است. (0/25)

مقدار $m$ را طوری بیابید ک زاویه بین دو بردار $\vec{a}=(m,0,2)$ و $\vec{b}=(2,-2,0)$ برابر $\frac{\pi }{3}$ باشد. (1/5)

اگر $\vec{a}=(2,-1,1)$، $\vec{b}=(-1,2,0)$ و $\vec{c}=\vec{i}-\vec{j}$ باشند، تصویر قائم بردار $\vec{a}+\vec{b}$ بر امتداد بردار $2\vec{c}-\vec{b}$ را به‌دست آورید. (1/5)

اگر $\vec{a}=(-2,0,1)$ و $\vec{b}=\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}$ باشند، مساحت مثلثی که توسط بردارهای $\vec{a}-\vec{j}$ و $\vec{b}$ تولید می‌شود را حساب کنید. (1)

اگر سه بردار $\vec{a}=(m,-1,1)$، $\vec{b}=(1,-1,1)$ و $\vec{c}=(1,m,-1)$ در یک صفحه واقع باشند، مقدار $m$ را بیابید. (1/5)