حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس حسابان (2) دوازدهم شهریور 1402 - امتحان نهایی دوازدهم شهریور 1402 (ریاضی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (0/75)

الف) عبارت $x^{16}+1$ بر $x+1$ بخش‌پذیر است.

ب) تابع $f$ روی بازه $(a,b)$ مشتق‌پذیر است هرگاه، در هر نقطه این بازه مشتق‌پذیر باشد.

پ) اگر تابعی صعودی باشد، آهنگ تغییر متوسط آن همواره صعودی است.

جاهای خالی را با عدد یا کلمه مناسب کامل کنید. (1)

الف) اگر برد تابع $y=\sqrt{x}$ بازه $\left[0,2\right]$ باشد، برد تابع $y=2+\sqrt{x-2}$ برابر ............ است.

ب) مجانب‌های افقی تابع $y=\frac{\left|x\right|+1}{2x-1}$ برابر ............ و ............ است.

نمودار تابع $y=f(x)$ در شکل مقابل رسم شده است. نمودار تابع $y=f(1-x)+1$ را رسم کنید. (1)

با توجه به نمودار تابع مقابل، تعیین کنید: (0/75)

الف) تابع $f$ در چه بازه‌هایی اکیداً یکنوا است.

ب) آیا تابع در کل دامنه خود اکیداً یکنوا است؟

مقادیر $a$ و $b$ را چنان بیاید که عبارت $p(x)=x^3-ax+b$ بر $(x-2)$ بخش‌پذیر باشد و باقی‌مانده تقسیم آن بر $(x+1)$ برابر 3 باشد. (1)

ضابطه تابعی به‌صورت $y=a\cos bx+c$ را بنویسید که دوره تناوب آن 2، مقدار ماکزیمم آن 3 و مقدار مینیمم آن $-1$ باشد. (1/5)

جواب‌های معادله مثلثاتی $4\sin x+2\sqrt{3}=0$ را در بازه $\left[0,2\pi \right]$ به‌دست آورید. (1/5)

حدود توابع زیر را در صورت وجود بیابید. (1/5)

الف) $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left[x\right]-1}{{(x-1)}^2}$

ب) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^4+3x-1}{2+x-x^4}$

مجانب قائم منحنی تابع $f(x)=\frac{1}{x-\left|x\right|}$ را به‌دست آورید. (1)

با توجه به نمودار تابع مقابل: (1)

الف) در کدام نقطه مقدار تابع و مقدار مشتق تابع منفی است؟

ب) در کدام نقطه مقدار تابع و مقدار مشتق تابع برابر صفر است؟

پ) در بین نقاط داده شده کدام نقطه بیشترین شیب را دارد؟

ت) شیب نقاط $D$ و $A$ را با هم مقایسه نمایید.

با استفاد از تعریف مشتق تابع، مشتق‌پذیری تابع $f(x)=\sqrt[3]{x-2}$ را در نقطه $x=2$ بررسی نمایید. (1)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2)

الف) $f(x)=(x^4+2x)(\sqrt{x})$

ب) $g(x)=3\tan x-{\sin }^3(2x)$

تابعی با ضابطه $f(x)=\frac{3x-6}{x^2+2}$ را در نظر بگیرید: (1/5)

الف) آهنگ تغییر متوسط در بازه $\left[-2,0\right]$ را به‌دست آورید.

ب) آهنگ تغییر لحظه‌ای در $x=-1$ را به‌دست آورید.

اکسترمم‌های مطلق تابع $f(x)=x^5-5x$ را در بازه $\left[0,2\right]$ به‌دست آورید. (1/25)

ابتدا جهت تعقر تابع $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$ را در دامنه آن بررسی نمایید و سپس نقطه عطف آن را در صورت وجود، به‌دست آورید. (1/25)

جدول رفتار و نمودار تابع $y=\frac{2}{3}{x}^3-x^2$ را رسم کنید. (2)