حل تشریحی سوالات ریاضی (چهارمحال و بختیاری) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1401

درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید. (1/5)

الف) مجموعۀ $\left\{0\right\}$، زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است.

ب) محل برخورد عمودمنصف‌های هر مثلث همیشه درون مثلث قرار دارد.

پ) درجه چندجمله‌ای $-3x^{4}y+2x^5$ نسبت به متغیر $x$ برابر 5 است.

ت) خط $y-3x=3$ از مبدأ مختصات می‌گذرد.

ث) عبارت گویای $\frac{3x-2}{3}$ به ازای $x=3$ تعریف نشده است.

ج) به فاصلۀ رأس هرم تا قاعده هرم، ارتفاع هرم گویند.

جملات زیر را با عدد، حرف یا کلمه مناسب کامل کنید. (1)

الف) اگر $A\subseteq B$ باشد، آنگاه $A\bigcup B=\cdots \cdots$ است.

ب) در یک نقشه با مقیاس 1:200، فاصله دو شهر 3/5 سانتی‌متر است، فاصله این دو شهر در اندازه واقعی ............ کیلومتر است.

پ) ساده شدۀ کسر $\frac{5}{\sqrt{5}}$ پس از گویا کردن مخرج آن به‌صورت ............ است.

ت) با دوران دادن یک نیم‌دایره حول قطر آن، شکل ............ به‌دست می‌آید.

گزینه درست را در هر مورد مشخص کنید. (1)

1) کدام‌یک از عبارت‌های زیر درست است؟

الف) $3^{-1}\times 4^{-1}={12}^{-2}$

ب) $1/04\times {10}^{-1}=0/104$

ج) $3^{-1}+4^{-1}=7^{-1}$

د) $2022000=2/022\times {10}^7$

2) کدام‌یک از تساوی‌های جبری زیر یک اتحاد است؟

الف) ${(a-b)}^2=a^2-b^2$

ب) ${(a+b)}^2=a^2+b^2$

ج) ${(a-b)}^2=a^2+2ab+b^2$

د) ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

3) کدام معادله خط زیر، موازی خط $y=-2x+5$ است؟

الف) $y+2x=1$

ب) $y=2x$

ج) $y-2x=5$

د) $x=-2$

4) کدام‌یک از عبارت‌های گویای زیر، بعد از ساده کردن برابر 1 می‌شود؟

الف) $\frac{2x+3}{2x-3}$

ب) $\frac{2a-3}{3-2a}$

ج) $\frac{2y+3}{3+2y}$

د) $\frac{2b+3}{-2b-3}$

الف) مجموعۀ $K$ را به‌صورت نمایش عددی مشخص نمایید. (0/5)

$K=\left\{4x-1|x\in \mathbb{N},x\le 2\right\}=$

ب) اگر $A=\left\{4,5,6,7\right\}$، $B=\left\{4,3\right\}$ و $C=\left\{6,7,8\right\}$ باشد، مجموعه‌های زیر را با عضوهایش مشخص کنید. (0/5)

$A\bigcap B=$

$C-A=$

در جعبه‌ای 3 مهره قرمز و 4 مهره آبی و 5 مهره سبز وجود دارد. اگر یک مهره را تصادفی از این جعبه خارج کنیم، چقدر احتمال دارد این مهره سبز نباشد؟ (0/5)

الف) از سه دانش‌آموز زیر خواسته شد، عددی گنگ بین دو عدد صحیح 2 و 3 بنویسند، درستی یا نادرستی جواب آن‌ها را مشخص نمایید. (0/75)

متین: عدد گنگی بین 2 و 3 وجود ندارد.

رضا: $\sqrt{2/5}$

امیرعلی: $\sqrt{7}$

ب) حاصل عبارت‌های زیر را ساده نمایید. (0/75)

$1)\sqrt{{(-1401)}^2}=$

$2)\left|-4-\sqrt{3}\right|=$

در مستطیل $ABCD$، نقاط $M$ و $N$ روی طول $CD$ طوری قرار گرفته‌اند که آن را به سه قسمت مساوی تقسیم کرده‌اند. ثابت کنید دو مثلث $AMD$ و $BNC$ هم‌نهشت هستند. (1)

$\begin{array}{c}\cdots =\cdots \\ \cdots =\cdots \\ \cdots =\cdots \end{array}\}\stackrel{\cdots \cdots }{\to }\stackrel{\Delta }{\mathrm{AMD}}\cong \stackrel{\Delta }{\mathrm{BNC}}$

الف) حاصل عبارت زیر را به‌صورت توان‌دار به‌دست آورید. (0/5)

${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-4}\times 5^6=$

ب) عبارت رادیکالی زیر را ساده نمایید. (1)

$\sqrt[3]{-64}-2\sqrt{5}+\sqrt{45}-4=$

الف) در اتحاد زیر جاهای خالی را کامل کنید. (0/5)

$(x+6)(x-2)=\cdots +4x-\cdots$

ب) حاصل عبارت زیر را با استفاده از اتحادها به‌دست آورید. (0/5)

$(a-5)(a+5)=$

پ) عبارت جبری زیر را تجزیه کنید. (0/5)

$x^2-3x-10=$

ت) مجموعه جواب نامعادلۀ زیر را مشخص نمایید. (1)

$x+1<3x-5$

الف) در دستگاه مختصات زیر شیب خط و عرض از مبدأ خط را بنویسید. (0/5)

عرض از مبدأ:

شیب خط:

ب) معادلۀ خطی بنویسید که از دو نقطه $\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]$ و $\left[\begin{array}{c}-2\\ -3\end{array}\right]$ بگذرد. (0/5)

پ) در معادله خط $y=ax+2$ اگر به جای $a$ عددهای مختلفی قرار دهیم، معادلۀ خط‌های زیادی به‌دست می‌آید. این خطوط چه ویژگی مشترکی دارند؟ (0/5)

ت) دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر را حل نمایید. (1/5)

$\{\begin{array}{c}2x+y=-1\\ 5x-2y=-16\end{array}$

در تقسیم چندجمله‌ای زیر خارج قسمت و باقیمانده را مشخص کنید. (0/75)

$\begin{array}{c}{x}^2-3x+7\\ \end{array}|\frac{x-2}{}$

الف) درستی یا نادرستی ساده شده عبارت گویای دو دانش‌آموز زیر را مشخص نمایید. (0/5)

$پرنیا=\frac{x+\cancel{4}}{y+\cancel{4}}=\frac{x}{y}$

$کیانا=\frac{\cancel{4}x}{\cancel{4}y}=\frac{x}{y}$

ب) حاصل عبارت‌های گویای زیر را به‌دست آورید. (1/5)

$\frac{x+1}{x+2}-\frac{5}{x+2}=$

$\frac{x^2-5x+6}{3+x}÷\frac{2x-4}{x+3}=$

الف) مساحت کره‌ای به شعاع 5 سانتی‌متر را حساب کنید. (0/75)

ب) یک مثلث قائم‌الزاویه به اضلاع قائمه 3 و 4 سانتی‌متر را حول ضلع کوچک‌تر آن دوران می‌دهیم. چه شکلی به‌دست می‌آید؟ حجم آن را به‌دست آورید. (1)

پ) حجم هرمی با قاعده مربعی به ضلع 5 سانتی‌متر و ارتفاع 6 سانتی‌متر را به‌دست آورید. (0/75)