حل تشریحی سوالات ریاضی (اصفهان) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1401

گزینه صحیح را در هر سؤال مشخص کنید. (1/25)

الف) یک تاس و یک سکه را پرتاب می‌کنیم احتمال اینکه عدد رو شده عدد اول و سکه پشت بیاید چقدر است؟

1) $\frac{1}{4}$

2) $\frac{1}{3}$

3) $\frac{1}{6}$

4) $\frac{5}{12}$

ب) کدام‌یک از اعداد زیر گویا است؟

1) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

2) $\sqrt[3]{9}$

3) $\sqrt{27}$

4) $3/77...$

ج) دو مثلث قائم‌الزاویه متشابه‌اند و نسبت تشابه آن‌ها $\frac{3}{5}$ می‌باشد. اگر وتر مثلث بزرگ‌تر 15 باشد، وتر مثلث کوچک‌تر چقدر است؟

1) 6

2) 18

3) 9

4) 25

د) حاصل تقسیم $32x^3{y}^4÷(-8)x^2{y}^2$ کدام گزینه است؟

1) $\frac{-4}{x{y}^2}$

2) $4x{y}^3$

3) $\frac{-x{y}^2}{4}$

4) $-4x{y}^2$

هـ) حاصل ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-2}$ برابر است با: ............

1) $\frac{9}{25}$

2) $-\frac{25}{9}$

3) $\frac{25}{9}$

4) $-\frac{9}{25}$

جملات درست یا نادرست را مشخص کنید. (1/25)

الف) اگر $a^{2}b<0$ در این صورت $b>0$ است.

ب) مجموعه $\left\{\varnothing \right\}$ یک مجموعه تک عضوی است.

ج) عبارت $\frac{2x+1}{2x-6}$ به ازای $x=3$ تعریف نشده است.

د) از دوران یک نیم‌دایره حول قطر آن یک نیم‌کره به‌دست می‌آید.

هـ) حاصل عبارت $\sqrt{20}-\sqrt{5}$ برابر با $3\sqrt{5}$ است.

با انتخاب یکی از عبارت‌های داخل پرانتز، جاهای خالی را طوری کامل کنید که یک عبارت درست حاصل شود. (1/25)

الف) اشتراک مجموعه اعداد گنگ و گویا برابر با مجموعه ............ است. (حقیقی، تهی)

ب) نماد علمی عدد 2700000 برابر است با: ............ . $(2/7\times {10}^{-6},2/7\times {10}^6)$

ج) مساحت کل یک هرم چهاروجهی منتظم که طول همه یال‌های آن $a$ باشد برابر است با: ............ . $(\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2,\sqrt{3}{a}^2)$

د) درجه چندجمله‌ای $3x^3{y}^3-2x^{2}y-x^4$ نسبت به $x$ برابر با ............ است. (4، 6)

هـ) در روند استدلال مسئله به اطلاعات مسئله و حقایق و اصولی که درستی آن‌ها از قبل معلوم است، ............ مسئله می‌گوییم. (فرض، حکم)

الف) اگر $A=\left\{1,0\right\}$ و $B=\left\{1,2,3\right\}$ و $C=\left\{2,4\right\}$ باشد اعضای مجموعه‌های زیر را مشخص کنید. (0/75)

$(B-A)\bigcap C=$

ب) اعضای مجموعه زیر را مشخص کنید. (0/75)

$E=\left\{-2x+1|x\in \mathbb{Z},-1<x\le 1\right\}$

الف) مجموعۀ $F=\left\{x|-2<x\le 2\right\}$ را روی محور نشان دهید. (0/5)

ب) حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. (0/5)

$\sqrt{{(2-\sqrt{8})}^2}=$

در شکل زیر ($ABCD$ مستطیل است) نقطه $F$ وسط پاره‌خط $AB$ قرار دارد. ثابت کنید: $\overline{FC}=\overline{FD}$. (1)

الف) حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید. (1)

$a)\frac{2^{13}\times 2^{-8}}{3^5}=$

$b)\sqrt[3]{-16}\times \sqrt[3]{4}=$

ب) مخرج کسر زیر را گویا کنید. (0/5)

$\frac{7}{\sqrt{2}}$

نامعادله زیر را حل کنید. (1)

$4x-5<7x+10$

الف) حاصل عبارت را به کمک اتحاد به‌دست آورید. (0/75)

${(3x-2)}^2=$

ب) عبارت زیر را به کمک اتحاد تجزیه کنید. (0/75)

$y^2+13y+36=$

الف) عرض از مبدأ خط $3y=6x-9$ را به‌دست آورید. (0/5)

ب) $\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ و $\left[\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right]$ دو نقطه از یک خط هستند. شیب خط را پیدا کنید. (0/5)

ج) با توجه به شکل زیر معادله خط $d$ را بنویسید. (0/25)

الف) خط به معادله $y=3x-1$ را در دستگاه مختصات زیر رسم کنید. (0/75)

ب) معادله خطی بنویسید که با خط $y=-4x+5$ موازی و محور عرض را در نقطه به عرض $-3$ قطع کند. (0/5)

دستگاه زیر را حل کنید. (1)

$\{\begin{array}{c}3x+2y=9\\ x+2y=7\end{array}$

خارج قسمت و باقیمانده تقسیم زیر را مشخص کنید. (1)

$\begin{array}{c}{x}^2-7x+13\\ \end{array}|\frac{x-2}{}$

حاصل هر عبارت را به ساده‌ترین صورت بنویسید. (مخرج همه کسرها مخالف صفر فرض شده است.) (2)

$\frac{x^5}{x^2-49}÷\frac{x^3}{x+7}=$ (الف

$\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x^2+x}=$ (ب

الف) حجم هرمی را به‌دست آورید که قاعده آن مربعی به ضلع 8 و ارتفاع هرم 9 سانتی‌متر باشد. (نوشتن فرمول الزامی است.) (0/75)

ب) در شکل زیر کره در استوانه محاط شده است. اگر ارتفاع استوانه 10 سانتی‌متر باشد حجم کره را به‌دست آورید. (نوشتن فرمول الزامی است. عدد $\pi \simeq 3$ در نظر بگیرید.) (0/75)

ج) حجم مخروط زیر را به‌دست آورید. (نوشتن فرمول الزامی است. عدد $\pi \simeq 3$ در نظر بگیرید.) (0/75)