حل تشریحی سوالات ریاضی (همدان) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1401

عبارت درست و نادرست را مشخص کنید. (0/75)

الف) مجموعۀ اعداد اول کوچک‌تر از 9، مجموعه‌ای 3 عضوی است.

ب) اگر $ab>0$ می‌توان گفت که $a,b$ هم‌علامت هستند.

ج) خط $y=2x$ از مبدأ مختصات می‌گذرد.

در جای خالی عدد، کلمه یا عبارت مناسب بنویسید. (0/75)

الف) در خط $y=2x+5$ عدد 2 را ............ می‌نامند.

ب) عبارت گویای $\frac{5x-1}{x-2}$ به ازای $x=\cdots \cdots \cdots \cdots$ تعریف نشده است.

ج) احتمال رو آمدن عدد زوج در پرتاب یک تاس برابر است با ............ .

گزینه صحیح را مشخص کنید. (0/5)

الف) کدام عبارت گویا است؟

1) $\frac{\sqrt{x}+5}{5-x}$

2) $\frac{-x+5}{\left|x\right|+5}$

3) $\frac{5}{\left|x-5\right|}$

4) $\frac{x+2}{5+x}$

ب) کدام‌یک از عبارت‌های زیر درست است؟

1) $\mathbb{N}\in \mathbb{Z}$

2) $\sqrt{3}\in \mathbb{Q}$

3) $\mathbb{N}-\mathbb{Q}=\mathbb{N}$

4) $-3\in \mathbb{Z}$

الف) با توجه به مجموعه‌های زیر حاصل عبارت‌های خواسته شده را به‌دست آورید. (1)

$A=\left\{-1,7,5\right\}$ و $B=\left\{1,-1,-2,2\right\}$

$A\bigcup B=$

$A-B=$

ب) در پرتاب دو تاس احتمال اینکه اعداد رو شده مثل هم باشند، چقدر است؟ (0/25)

الف) بین دو عدد 2 و 1 یک عدد گویا و یک عدد گنگ بنویسید. (0/5)

ب) حاصل عبارت زیر را بدون قدرمطلق بنویسید. (0/75)

$\left|-2-\sqrt{7}\right|=$

در شکل زیر $ABCD$ یک مستطیل است اگر $DM$ با $NC$ برابر باشد ثابت کنید که دو ضلع $BN$ و $AM$ برابر هستند. (1/5)

$\begin{array}{c}\cdots =\cdots \\ AB=\cdots \end{array}\}\Rightarrow ABH\cong AHC\Rightarrow \cdots =\cdots$

این دو مثلث به حالت ............ با هم، هم‌نهشت هستند.

الف) عدد 2450000000 را به‌صورت نماد علمی نشان دهید. (0/5)

ب) حاصل عبارت زیر را به‌صورت عددی  توان‌دار بنویسید. (0/5)

$5^{-3}÷5^{-6}=$

ج) مخرج کسر زیر را گویا کنید. (0/5)

$\frac{2}{\sqrt{8}}=$

د) عبارت زیر را ساده کنید. (0/75)

$\sqrt{8}+2\sqrt{2}+\sqrt{5}-3\sqrt{5}=$

الف) طرف دیگر عبارت زیر را به کمک اتحادها بنویسید. (1)

$(x-5)(x+5)=$

${(5+2y)}^2=$

ب) با استفاده از اتحاد یک جمله مشترک عبارت زیر را تجزیه کنید. (0/5)

$x^2-3x+2=()()$

ج) نامعادلۀ زیر را حل کنید. (1)

$15x-5\le 11-x$

الف) می‌خواهیم خطی به معادلۀ $y=5x-1$ را در دستگاه مختصات رسم کنیم جدول را کامل کنید و سپس خط را در دستگاه مختصات رسم کنید. (1/5)

ب) معادله خطی را بنویسید که با خط $y=x-1$ موازی باشد و محور عرض‌ها را در نقطه‌ای به عرض $-7$ قطع کند. (0/5)

دستگاه معادلات زیر را حل کنید. (1)

$\{\begin{array}{c}6x-4y=2\\ 2x+4y=6\end{array}$

الف) نقاط تعریف‌نشده عبارت زیر را پیدا کنید. (0/75)

$\frac{2x}{x^2-9}=$

ب) حاصل جمع عبارت‌های زیر را به‌دست آورید. (1)

$\frac{5x-3}{x-1}+\frac{6-2x}{x-1}=$

ج) حاصل‌ضرب عبارت زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. (1/25)

$\frac{x^2-4}{x^2-9}\times \frac{x+3}{x-2}=$

تقسیم زیر را انجام دهید و خارج‌قسمت و باقیمانده را مشخص کنید. (1/25)

$\begin{array}{c}-2x^2+5x+1\\ \end{array}|\frac{x+3}{}$

الف) حجم کره‌ای به شعاع 6 سانتی‌متر را به‌دست آورید. (نوشتن فرمول الزامی است.) (1)

ب) حجم هرمی به قاعده مستطیل با طول 6 و عرض 5 و ارتفاع 9 را به‌دست آورید. (نوشتن رابطه الزامی است.) (1)