حل تشریحی سوالات ریاضی (تهران) - امتحان هماهنگ کشوری خرداد 1401

درستی یا نادرستی هر عبارت را مشخص کنید. (1)

الف) مجموعه اعداد اول زوج، دارای 2 زیرمجموعه است.

ب) عددی وجود دارد که هم گویا و هم گنگ باشد.

ج) هر دو لوزی دلخواه، همواره متشابه هستند.

د) هر عدد صحیح، فقط یک ریشه سوم دارد.

جاهای خالی را با کلمه یا عدد مناسب کامل کنید. (1)

الف) درجه جمله جبری $2a^{5}b$ نسبت به متغیرهای $a$ و $b$ برابر با ............ است.

ب) اگر دو خط با هم موازی باشند، ............ آن‌ها با هم برابر است.

ج) حجم یک مخروط با رابطه (فرمول) ............ قابل محاسبه است.

د) از دوران یک نیم‌دایره حول قطرش، ............ به‌وجود می‌آید.

گزینه صحیح را انتخاب کنید. (1)

1) نماد علمی عدد 12305 در کدام گزینه آمده است؟

الف) $1/2305\times {10}^1$

ب) $1/2305\times {10}^4$

ج) $1/2305\times {10}^3$

د) $1/2305\times {10}^2$

2) کدام گزینه با جمله $-6x{y}^4$ متشابه است؟

الف) $-6$

ب) $y^{4}x$

ج) $-6x^{4}y$

د) $-6y^4$

3) مستطیلی به ابعاد 3 و 10 را حول ضلع بزرگ‌تر دوران می‌دهیم. ارتفاع استوانه ایجاد شده برابر با کدام گزینه است؟

الف) 3

ب) 13

ج) 10

د) 7

4) در هرم منتظم، وجه‌های جانبی به شکل ............ هستند.

الف) مستطیل

ب) مربع

ج) مثلث

د) لوزی

مجموعه‌های $A=\left\{3x-2|x\in W,x\le 2\right\}$ و $B=\left\{0,1,2,3\right\}$ را در نظر بگیرید.

الف) اعضای مجموعه $A$ را بنویسید. (0/75)

ب) به موارد خواسته شده پاسخ دهید. (0/5)

$A\cap B=$

$A-B=$

یک تاس و یک سکه را هم‌زمان با هم پرتاب می‌کنیم. چقدر احتمال دارد: (0/5)

الف) تاس «عددی فرد» و سکه «رو» بیاید.

ب) سکه «پشت» بیاید و تاس مضرب عدد 3 باشد.

الف) حاصل عبارت زیر را به ساده‌ترین صورت بنویسید. (0/75)

$\sqrt{{(3-\sqrt{10})}^2}=$

ب) دو عدد گویا بین $\sqrt{5}$ و $\sqrt{17}$ بنویسید.

ثابت کنید اگر از نقطه‌ای خارج از یک دایره، دو مماس بر دایره رسم کنیم، طول آن دو مماس با هم برابر خواهد بود. (1/25)

الف) حاصل را به ساده‌ترین صورت بنویسید. (0/5)

$5\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{54}=$

ب) مخرج کسر $\frac{3}{\sqrt{2}}$ را گویا کنید. (0/5)

ج) عبارت زیر را تا حد ممکن ساده کنید. (0/5)

$\frac{2x^2{y}^{4}z}{xz{y}^3}=$

الف) با استفاده از اتحادها، تجزیه کنید. (0/75)

$25x^2-30x+9=$

ب) به کمک اتحادها طرف دیگر عبارت زیر را بنویسید. (0/75)

$(3x+7)(3x-4)=$

ج) نامعادله زیر را حل کرده و مجموعه جواب را روی محور نشان دهید. (1)

$2(x+2)\ge x+3$

خط $y=2x+1$ را در دستگاه مختصات زیر رسم کنید. (1)

الف) دستگاه زیر را حل کنید. (1/5)

$\{\begin{array}{c}y-5x=-3\\ -3y+6x=-9\end{array}$

ب) معادله خطی را بنویسید که با خط $y=2x+3$ موازی باشد و محور $y$ را در نقطه $-5$ قطع کند. (0/75)

الف) عبارت زیر به ازای چه مقادیری تعریف نشده است؟ (0/5)

 $\frac{x+1}{5x-20}$

ب) حاصل هر عبارت را به ساده‌ترین صورت بنویسید. (2)

 $\frac{1}{\left(x-y\right)}+\frac{2}{\left(x+y\right)}=$

 $\frac{6x^2}{5xy}÷\frac{10x}{y^3}=$

ج) خارج قسمت و باقیمانده تقسیم عبارت $3x^3+2x^2-4x-1$ بر $x-1$ را محاسبه کنید. (1)

مساحت کل و حجم یک نیم‌کره تو پُر به شعاع 10 سانتی‌متر را محاسبه کنید. (نوشتن فرمول‌ها، الزامی است) (2)