حل تشریحی سوالات ریاضی (اصفهان) - سؤالات و پاسخ امتحان نهایی هشتم خرداد 1403

درستی و نادرستی جمله‌های زیر را مشخص کنید و دلیل نادرستی را بنویسید. (0/75)

الف) بردارهای $-3\vec{a}$ و $\vec{a}$ هم‌راستا و هم‌جهت هستند.

ب) نمودار میله‌ای برای مقایسۀ داده‌های تقریبی استفاده می‌شود.

هر یک از جمله‌های زیر را با عدد، کلمه یا عبارت مناسب کامل کنید. (1)

الف) اگر ب م م دو عدد برابر یک باشد، آن دو عدد نسبت به هم ............ هستند.

ب) دو خط ............ بر یک خط با هم موازی هستند. (موازی - عمود)

ج) سه برابر $3^5$ به‌صورت یک عدد توان‌دار برابر با ............ است.

د) هر نقطه روی ............ یک پاره‌خط از دو سر پاره‌خط به یک فاصله است. (نیمساز - عمودمنصف)

گزینۀ درست را مشخص کنید. (0/75)

الف) هر عدد، که بتوان به‌صورت کسر $\frac{a}{b}$ که در آن $a$ و $b$ عددهای صحیح و $b\ne 0$ نوشت عدد ............ می‌گوییم.

1) طبیعی

2) حسابی

3) صحیح

4) گویا

ب) اگر مختصات علامت برداری $\left[\begin{array}{c}-\\ +\end{array}\right]$ باشد، شکل تقریبی بردار کدام است؟

1) $\nearrow$

2) $\nwarrow$

3) $\searrow$

4) $\swarrow$

ج) مقدار عددی عبارت $-3a^2$ به ازای $a=2$ برابر است با:

1) $-12$

2) 12

3) 6

4) $-6$

الف) قرینۀ معکوس عدد $-2\frac{3}{5}$ را بنویسید. (0/5)

ب) حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. (1)

$\left(-\frac{5}{8}\right)÷\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=$

الف) تعداد عددهای اول کمتر از 20، هشت عدد است. تعداد عددهای مرکب کوچک‌تر از 20 چندتاست؟ چرا؟ (0/75)

ب) مشخص کنید عدد 97 عددی اول است یا مرکب. (با راه‌حل) (0/75)

الف) با توجه به روابط بین خطوط موازی و مورب، با تشکیل معادله مقدار $x$ را به‌دست آورید. (0/75)

ب) چهارضلعی که دو قطر آن مساوی و عمودمنصف یکدیگرند چه نام دارد؟ (0/25)

ج) اندازه هر زاویۀ داخلی 10 ضلعی منتظم را به‌دست آورید. (0/5)

الف) ضریب عددی عبارت $-\frac{a}{3}$ را بنویسید. (0/25)

ب) عبارت جبری زیر را ساده کنید. (0/75)

$3a(2b-4a)-6ab=$

ج) جای خالی را کامل کنید. (0/5)

$8a^{2}x+4a=\cdots (2ax+\cdots )$

د) معادلۀ زیر را حل کنید. (0/75)

$\frac{5}{6}x+\frac{2}{3}=\frac{3}{4}$

آیا جملۀ زیر درست است؟ با رسم شکل توضیح دهید. (0/5)

«اگر چند بردار با هم جمع شوند، بردار حاصل جمع از همۀ آن‌ها بزرگ‌تر است.»

الف) اگر $\vec{a}=-2i-j$ و $\vec{b}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right]$ باشند، مختصات بردار $x$ را به‌دست آورید. (0/75)

$\vec{x}=2\vec{a}+\vec{b}$

ب) با توجه به بردارهای $a$ و $b$، بردار $c$ را از نقطۀ دلخواه رسم کنید. (0/5)

$\vec{c}=2\vec{a}-\vec{b}$

الف) با توجه به شکل زیر، مقدار $x$ را به‌دست آورید. (0/75)

ب) مثلث $ABC$ با چه تبدیلی بر مثلث $DEF$ منطبق می‌شود؟ (0/75)

با توجه به شکل مقدار $y$ را به‌دست آورید.

الف) در کدام قسمت اطلاعات داده شده برای هم‌نهشتی دو مثلث کافی است؟ در صورت برقراری حالت هم‌نهشتی را بنویسید. (0/5)

A)

B)

ب) دو قطر $AC$ و $BD$ یکدیگر را در مرکز مشترک دو دایره قطع کرده‌اند. اجزای مساوی را با توجه به روابطی که بین آن‌ها وجود دارد پیدا کرده و با علامت‌گذاری مناسب مشخص کنید؛ سپس، حالت هم‌نهشتی دو مثلث را بنویسید. (1)

الف) در جای خالی عدد مناسب قرار دهید. (0/5)

${(x^3)}^7=x^{\cdots }$

$5^{\cdots }\times 7^4=7^4$

ب) حاصل عبارت زیر را به‌صورت عددی توان‌دار بنویسید. (0/75)

$\frac{5^9\times 2^9}{{10}^3\times 10}=$

الف) در جای خالی علامت مناسب $(<=>)$ قرار دهید. (0/5)

$\sqrt{20}-2◯\sqrt{18}$

${(\sqrt{3})}^2◯3$

ب) در محور زیر، به مرکز $A$ و به شعاع $AB$ یک کمان زده‌ایم و محور را در نقطۀ $C$ قطع کرده است. نقطۀ $C$ چه عددی را نشان می‌دهد؟ (0/5)

ج) جذر تقریبی عدد 39 را تا یک رقم اعشار به‌دست آورید. (0/75)

$\sqrt{39}\simeq \cdots \cdots$

نمره ریاضی 18 نفر از دانش‌آموزان به‌صورت زیر است: (1)

$10/5,14,2,3,9,20,11,8,8,18,15,14,10,14,4,19,13,17/5$

الف) دامنۀ تغییرات را به‌دست آورید.

ب) اگر تعداد دسته‌ها 6 باشد طول دسته را به‌دست آورید.

جدول را کامل کنید. (1)

از درون کیسه‌ای حاوی 3 مهرۀ سبز، 2 مهرۀ زرد و 4 مهرۀ آبی یک مهره به تصادف خارج می‌کنیم. مطلوب است احتمال اینکه: (1)

الف) مهرۀ خارج شده زرد نباشد.

ب) مهرۀ خارج شده زرد یا آبی باشد.