حل تشریحی سوالات ریاضی 3 تجربی - امتحان نهایی علوم تجربی 1403

اگر نمودار تابع f از نقطع $A\left(2,4\right)$ بگذرد و ${\lim }_{x\to 2}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=3$ باشد، معادله خط مماس بر نمودار f را در نقطه A به دست آورید. (1)

سه ظرف یکسان داریم. در اولین ظرف 15 مهره قرار دارد که 3 تای آنها قرمز است. در ظرف دوم هیچ مهره قرمزی وجود ندارد و در ظرف سوم 12 مهره داریم که 6 تای آنها قرمز است. با چشم بسته یک ظرف را انتخاب کرده و یک مهره از آن خارج می کنیم. با چه احتمالی این مهره قرمز است. (1/5)

اگر مرکز دایره $x^2+y^2+ax-4y-4=0$، نقطه $O\left(1,2\right)$ باشد. (1)

الف) مقدار a را بیابید. ب) شعاع دایره را محاسبه کنید.

در یک بیضی فاصله کانونی با طول قطر کوچک آن برابر است. خروج از مرکز بیضی را بیابید. (1/25)

مطابق شکل زیر، نقطه A در ناحیه اول دستگاه مختصات روی منحنی $y=12-x^2$ قرار دارد. (1/75)

با استفاده از جدول تغییرات، مختصات نقطه A را چنان بیابید که مساحت مثلث قائم‌الزاویه OAB بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد.

در نمودار تابع مقابل، طول نقاط ماکزیمم نسبی، مینیمم نسبی، ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق را بیابید.

تابع $f\left(x\right)=x^2-x$ را در نظر بگیرید. (1/25)

الف) آهنگ تغییر متوسط تابع f را در بازه $\left[0,2\right]$ به دست آورید.

ب) حدود x را چنان بیابید که آهنگ تغییر لحظه‌ای تابع f از آهنگ تغییر متوسط آن، در بازه $\left[0,2\right]$ بزرگ‌تر باشد.

مشتق تابع زیر را به دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.)

$f\left(x\right)={\left(x-6\right)}^3+\frac{5x+3}{\sqrt{2x-1}}$

با استفاده از تعریف مشتق، شیب نیم مماس چپ تابع $f\left(x\right)=\left|x^2-4\right|$ را در $x=2$ بیابید. (1/25)

درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) هر نقطه اکسترمم نسبی تابع، یک نقطه بحرانی آن است.

ب) تابع $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ در $x=0$ مشتق‌پذیر است.

ج) در تابع $f\left(x\right)=4+\sqrt{x-1}$ دامنه تابع $y=\left(f^{-1}\circ \right)\left(x\right)$ برابر $\left[1,+\infty \right]$ است.

حدود زیر را محاسبه کنید. (نماد [ ] علامت جزء صحیح است.) (2)

${\lim }_{x\to 5}\frac{1}{{\left(x-5\right)}^4}$ (ب ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$ (الف

${\lim }_{x\to \infty }\frac{-6x^3+7x-9}{2x^3-4x^2+x}$ (د ${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{3-\left[x\right]}{x-3}$ (ج

جواب‌های معادله $\cos \left(2x\right)=\frac{1}{2}$ را در بازه $\left(0,\pi \right)$ به دست آورید. (1/25)

اگر بیشترین و کمترین مقدار تابع $y=a\sin \left(8x\right)+c$ به ترتیب 9 و 3 باشد. (1/5)

الف) مقادیر $\left|a\right|$ و c را بیابید.

تابع $f\left(x\right)=\sqrt{x+4}-1$ را در نظر بگیرید. دامنه و ضابطه تابع وارون آن را بیابید. (1/25)

در شکل روبرو نمودار تابع f رسم شده است. (0/75)

الف) نمودار تابع g با ضابطه $g\left(x\right)=f\left(2x\right)$ را رسم کنید.

ب) مقدار $g\circ f\left(0\right)$ را به دست آورید.

به کمک انتقال نمودار $y=x^3$ نمودار تابع $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^3+1$ را رسم کنید. (1/25)

جاهای خالی را با عبارت یا عدد مناسب کامل کنید. (0/75)

الف) تابع $g\left(x\right)=x^2-4x+5$ در بازه $\left(-\infty ,a\right]$ اکیداً نزولی است. حداکثر مقدار a برابر ................ است.

ب) مقدار عددی عبارت $\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$ برابر ................ اس.

ج) اگر صفحه P در یکی از موقعیت‌ها با مولد سطح مخروطی موازی باشد و از رأس آن عبور نکند، شکل حاصل ................ است.