حل تشریحی سوالات هندسه 3 ریاضی فیزیک - امتحان نهایی علوم تجربی 1403

دستگاه معادلات $\{\begin{array}{c}3x+7y=-4\\ -5x+2y=-7\end{array}$ را با استفاده از ماتریس وارون حل کنید. (1)

به ازای چه مقادیری از m دستگاه معادلات $\{\begin{array}{c}-4x+\left(m-3\right)y=3\\ 2x-\frac{m-3}{2}y=1\end{array}$ یک جواب منحصر به فرد دارد. (1)

سوالات فصل دوم

دایره‌هایی که مرکز آنها روی سهمی به معادله $(y-1{)}^2=-8(x+1)$ واقع است و از کانون سهمی می‌گذرند، بر خط به معادله ............... مماس هستند. (0/5)

دو نقطه A و B و خط d که شامل هیچ یک نیست در صفحه مفروضند، نقطه‌ای بیابید که از A و B به یک فاصله بوده و از d به فاصله 3 سانتی‌متر باشد. (1/25)

وضعیت دایره به معادله $x^2+y^2-6x+12y+20=0$، نسبت به دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصات و شعاع 3 واحد را مشخص کنید. (1)

معادله دایره‌ای را بنویسید که خط‌های $x+y=1$ و $x-y=3$ شامل قطره‌هایی از آن باشند و روی خط به معادله $x+y=2$ وتری به طول $2\sqrt{2}$ ایجاد می‌کند. (1)

نقاط $B(-1,2)$ و $B\prime (-1,-4)$ دو سر قطر کوچک یک بیضی با فاصله کانونی $2\sqrt{3}$ واحد است. طول قطر بزرگ بیضی را بیابید. (1)

یک بیضی به مرکز O و کانون‌های F و مطابق شکل روبرو مفروض است. اگر $4S_{FBF\prime }=S_{BA\prime O}$ باشد، خروج از مرکز بیضی را به دست آورید. (1)

معادله سهمی را بنویسید که خط هادی آن $y=-2$ و کانون آن $F(1,-4)$ باشد. (1)

یک شعاع نورانی در امتداد خط $x=4$ بر سهمی $x^2=8y$ می‌تابد. معادله خط بازتاب را بنویسید. (1/25)

سوالات فصل سوم

الف) خط به معادله $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}$ بر صفحه xoz عمود است. (درست - نادرست)

ب) معادله صفحه‌ای که موازی صفحه yoz است و از نقطه $A(2,-1,3)$ می‌گذرد، برابر با ............... است.    (1/25)

اگر $\vec{a}=-\vec{i}-\sqrt{3}\vec{k}$ و $\vec{b}=(\sqrt{3},2,1)$ باشد، تصویر قائم  بردار $\vec{b}$ بر $\vec{a}$ و اندازه بردار تصویر را به دست آورید. (1/5)

اگر مساحت متوازی‌الاضلاعی که توسط بردارهای $\vec{a}$ و $\vec{b}$ ساخته می‌شود $6\sqrt{3}$ باشد و $|\vec{a}|=4$ و $|\vec{b}|=4$، حاصل $\vec{a}.(\vec{a}-\vec{b})$ را به دست آورید. (1/75)

دو بردار $\vec{a}=(-m,-1,-2)$ و $\vec{b}=(0,-3,m+2)$ مفروض‌اند. اگر دو بردار $\vec{a}-\vec{b}$ و  $\vec{a}+\vec{b}$ بر هم عمود باشند، آنگاه حجم متوازی‌السطوحی که روی بردارهای $\vec{a}$ و $\vec{b}$ و $\vec{a}\times \vec{b}$ ساخته می‌شود را به دست آورید. (1/5)

اگر $A={\left[a_{ij}\right]}_{2\times 2}$ به صورت $a_{ij}=\{\begin{array}{cc}-1& |i-j|>1\\ 0& |i-j|=1\\ 1& |i-j|<1\end{array}$ باشد، ماتریس $A^2-2I$ را به دست آورید. (1/5)

اگر $A={\left[a_{ij}\right]}_{2\times 2}$ و $|A^3|=-8$ باشد، حاصل $\frac{|A^{-1}|}{3A}$ را بیابید. (1)