حل تشریحی سوالات حسابان 2 - امتحان نهایی ریاضی و فیزیک 1403

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (0/5)

الف) اگر توابع f و g در یک فاصله اکیداً نزولی باشند، تابع $f+g$ نیز در آن فاصله اکیداً نزولی است.

ب) اگر  $x=c$طول یک نقطه اکسترمم نسبی تابع f باشد، آن‌گاه $f\prime (c)=0$

جاهای خالی را با عدد یا عبارت مناسب کامل کنید. (0/75)

الف) تابع $f(x)=(x-2{)}^2$ را در نظر بگیرید. نمودار $f^{-1}$ از ناحیه ............... محورهای مختصات عبور نمی‌کند.

ب) حاصل ${\lim }_{x\to \frac{x^{+}}{2}}tanx$ برابر .............. است.

پ) اگر $f\prime (4)=2$ و $f(4)=-1$، خط مماس بر نمودار f در $x=4$، محور yها را در نقطه‌ای به عرض ............... قطع می‌کند.

نمودار $f(x)$ تابع در زیر رسم شده است، نمودار تابع $y=-f(2x-1)$ را رسم کرده، سپس دامنه و برد تابع حاصل را به دست آورید. (1/25)

الف) اگر چندجمله‌ای $p(x)=x^3+mx+2$ بر بخش‌پذیر باشد، آنگاه باقی‌مانده تقسیم $p(x)$ بر $x+1$ را به دست آورید.

ب) چندجمله‌ای $x^5-1$ را طوری تجریه کنید که یک عامل آن باشد.    (1/25)

نمودار داده شده در شکل زیر مربوط به تابع با ضابطه $y=asinbx+c$ است. با فرض $a>0$، مقادیر a، b و c را به دست آورید.  (1)

معادله $sin2x=sinx$ را حل کنید. (1)

نشان دهید در شکل زیر رابطه بین زاویه b و x به صورت زیر است. (1)

حدهای زیر را محاسبه کنید. (نماد [] علامت جزء صحیح است.)  (1/5)

${\lim }_{x\to \infty }\left(-3x^3+2x+1\right)$ (پ ${\lim }_{x\to \infty }\frac{2x^2-3x}{1-x^2}$ (ب ${\lim }_{x\to \infty }\frac{\left[2x\right]-1}{x-1}$ (الف

مجانب‌های قائم و افقی منحنی تابع $f(x)=\frac{2x-1}{x^3+2x}$ را به دست آورده و سپس وضعیت نمودار تابع را در نزدیکی مجانب قائم آن نمایش دهید. (1/25)

مشتق‌پذیری $f(x)=\{\begin{array}{c}|x|x<0\\ x^{2}x\ge 0\end{array}$ تابع را در نقطه $x=0$ به کمک تعریف مشتق بررسی کنید. (1/5)

اگر $f^{\prime }(1)=3$، $g^{\prime }(1)=5$ و $f(1)=1$، مقدار مشتق $(f+g)of$ در $x=1$ را به دست آورید. (0/75)

مشتق توابع زیر را به دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2)

$g(x)=si{n}^{2}3x+tan(x^2)$ (ب              $f(x)=(x^3+1{)}^2(\sqrt{3x+2})$ (الف

جسمی را از سطح مزین به طور عمودی پرتاب می‌کنیم. فرض کنیم ارتفاع این جسم (بر حسب متر) از سطح زمین در هر لحظه از معادله $h(t)=-5t^2+40t$ به دست می‌آید. (t بر حسب ثانیه)  (1/5)

الف) سرعت متوسط جسم در بازه زمانی $[3,4]$ را به دست آوردی.

ب) لحظه‌ای را معلوم کنید که سرعت جسم برابر $20m/s$ است.

مقدار ماکزیمم مطلق تابع $f(x)=x^3-12x$ در بازه $[-1,3]$ را به دست آورید. (1/5)

مقادیر a، b و c را در تابع $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ طوری به دست آورید که در نقطه $(3,-1)$ اکسترمم نسبی داشته باشد و $x=1$ طول نقطه عطف آن باشد. (1/5)

جدول رفتار و نمودار تابع $y=(x+2)(x-4{)}^2$ را رسم کنید. (1/75)