حل تشریحی سوالات ریاضی و آمار 3 - آزمون امتحان نهایی 1403

درستی یا نادرستی جمله‌های زیر را مشخ کنید.

الف) دنباله‌ی ...، 16، 9، 4، 1 یک دنباله حسابی است. (درست - نادرست)

ب) هرگاه A و B دو پیشامد ناتهی در فضای نمونه‌ی S باشند، به‌طوری‌که A-B=A، B-A=B در این‌صورت، دو پیشامد A و B ناسازگار هستند. (درست و نادرست)

جاهای خالی را با عبارات مناسب پر کنید.

الف) به هر یک از نتایج ممکن برای یک آزمایش، تصادفی، ............... می‌گویند.

ب) احتمال ای‌که از بین سه نفر دوست،‌تولد هیچ دو تای آن‌ها در یک فصل نباشد، برابر است با ............. .

ج) ریشه‌های چهارم عدد 7 برابر است با .................. و .................... .

گزینه صحیح را انتخاب کنید.

الف) تعداد زیر مجموعه‌های 3 عضوی از مجموعه‌ی {9، 8، 7، 6، 5} = A که شامل عدد 7 باشد، کدام است؟

1) 10

2) 8

3) 6

4) 4

ب) اگر اندازه‌گیری وزن افراد با دو واحد متفاوت (کیلوگرم و پوند) انجام شده باشد، اجرای نادرست، کدام گام از چرخه آمار است؟

1) بیان مسئله

2) طرح و برنامه‌ریزی

3) گردآوری و پاک‌سازی داده‌ها

4) تحلیل داده‌ها

ج) ضابطه‌ی تابعی دنباله‌ی ...، $\frac{4}{5}$، $\frac{3}{4}$، $\frac{2}{3}$-، $\frac{1}{2}$ کدام گزینه است؟

1) $a_n={\left(-1\right)}^{n+1}\frac{n}{n+1}$

2) $a_n=\frac{-n}{n+1}$

3) $a_n={\left(-1\right)}^n\frac{n}{n+1}$

4) $a_n=\frac{n}{n+1}$

مطابق شکل زیر، میان چهار شهر راه‌هایی وجود دارد. مشخص کنید به چند طریق می‌توان از شهر B به شهر D سفر کرد؟

وبا ارقام 1، 0، 3، 5، 7، 9 و بدون تکرار ارقام، چند عدد چهار رقمی و مضرب 5 می‌توان نوشت؟

هر یک از اعداد طبیعی 1 تا 9 را روی کارت‌هایی می‌نویسیم و پس از مخلوط کردن کارت‌ها، به‌طور تصادفی یک کارت بر می‌داریم. پیشامدهای زیر را مشخص کنید.

الف) عدد روی کارت، اول باشد ولی بزرگ‌تر از 4 نباشد.

ب) عدد روی کارت،‌ مجذور کامل و فرد باشد.

گروه المپیاد ادبی شهری، شامل 5 دانش‌اموز دختر و 4 دانش‌آموز پسر است. می‌خواهیم به‌طور تصادفی 3 نفر را از بین آن‌ها انتخاب کنیم. مطلوب است محاسبه‌ی احتمال این‌که:

الف) دو دختر و یک پسر انتخاب شود.

ب) حداقل 2 پسر انتخاب شده باشد.

با توجه به نمودارهای جعبه‌ای رسم شده به سوالات زیر پاسخ دهید.

الف) در کدام گروه، گزارش میانگین و انحراف معیار می‌توان گمراه کنند باشد؟

ب) دامنه‌ی میان چارکی کدام گروه بزرگ‌تر است؟

ج) در کدام گروه مقدار میانه و میانگین به هم نزدیکترند؟

با توجه به دنباله‌های an​=n+1(−1)n​ و bn​=n2+2 حاصل عبارت 8a3​+b2​ را بنویسید.

در دنباله‌ی بازگشتی $a_{{}_{(}n+1)}=2a_n+n$ با جمله‌ی اول $a_1=3$، چهار جمله اول را به‌دست آورید.

در یک دنباله‌ی حسابی، جمله‌ی هفتم برابر 53 و جمله‌ی بیست و پنجم برابر 107 است.

الف) جمله‌ی اول و اختلاف مشترک دنباله را حساب کنید.

ب) جمله‌ی پنجاه و یکم دنباله را مشخص کنید.

بین اعداد 7 و 27 سه عدد را طوری قرار دهید که این پنج عدد با هم، تشکیل دنباله حسابی افزایشی دهند.

مدت زمان مطالعه‌ی روزانه‌ی دانش‌آموزی در درس ریاضی و آمار برحسب دقیقه به‌صورت دنباله‌ی زیر است.

...، 25، 20، 15، 10

مجموع مدت زمان مطالعه‌ی دانش‌آموز در شانزده روز اول را بیابید. (با استفاده از فرمول مجموع)

برای دنباله هندسی مقابل $\frac{1}{2},\frac{1}{10},\frac{1}{50},\frac{1}{250},\dots$

الف) نسبت مشترک و جمله‌ی عمومی دنباله را بنویسید.

ب) رابطه‌ی بازگشتی آن را مشخص کنید.

جمله‌ی اول یک دنباله‌ی هندسی 5 و نسبت مشترک آن 2 است.

الف) جمله‌ی چندم این دنباله برابر 640 است؟

ب) با استفاده از فرمول، مجموع نه جمله‌ی اول دنباله را به‌دست آورید.

عبارت توان‌دار را به‌صورت رادیکالی و عبارت رادیکالی را به‌صورت توان‌دار بنویسید.

الف)${\left(0.35\right)}^{\frac{1}{4}}$

ب)$\sqrt[11]{4.2}$

ج) $\sqrt[4]{{\frac{1}{6}}^3}$

د) ${\left(2\frac{1}{3}\right)}^{\frac{-8}{6}}$

حاصل عبارت زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. (a>0)

الف)(a6−1​a3−1​​)−6

ب)${\left(3\right)}^{\frac{1}{2}}\times {\left(12\right)}^{\frac{1}{2}}\times {\left(0.7\right)}^0$

نمودار تابع نمایی $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ را در دستگاه مختصات رسم کنید.

شخصی چهل میلیون تومان در یک شرکت تولیدی در راستای حمایت از تولید ملی سرمایه‌گذاری می‌کند. اگر در پایان هر سال 30 درصد سود علی‌الحساب به او پرداخت شود، پس از دو سال سرمایه‌ی او چقدر خواهد شد؟