حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی حسابان (2) دوازدهم خرداد 1403 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1403 (ریاضی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (0/5)

الف) اگر توابع $f$ و $g$ در یک فاصله اکیداً نزولی باشند، تابع $f+g$ نیز در آن فاصله اکیداً نزولی است.

ب) اگر $x=c$ طول یک نقطه اکسترمم نسبی تابع $f$ باشد، آن‌گاه $f^{\prime }(c)=0$.

جاهای خالی را با عدد یا عبارت مناسب کامل کنید. (0/75)

الف) تابع $f(x)={(x-2)}^3+1$ را در نظر بگیرید. نمودار $f^{-1}$ از ناحیه ............ محورهای مختصات عبور نمی‌کند.

ب) حاصل $\underset{x\to \frac{{\pi }^{+}}{2}}{\lim }\tan x$ برابر ............ است.

پ) اگر $f^{\prime }(4)=2$ و $f(4)=-1$، خط مماس بر نمودار $f$ در $x=4$، محور $y$ها را در نقطه‌ای به عرض ............. قطع می‌کند.

نمودار تابع $f(x)$ در زیر رسم شده است، نمودار تابع $y=-f(2x-1)$ را رسم کرده، سپس دامنه و برد تابع حاصل را به‌دست آورید. (1/25)

الف) اگر چندجمله‌ای $p(x)=x^3+mx+2$ بر $x-2$ بخش‌پذیر باشد، آن‌گاه باقی‌مانده تقسیم $p(x)$ بر $x+1$ را به‌دست آورید. (0/75)

ب) چندجمله‌ای $x^5-1$ را طوری تجزیه کنید که $x-1$ یک عامل آن باشد. (0/5)

نمودار داده شده در شکل زیر مربوط به تابع با ضابطه $y=a\sin bx+c$ است. با فرض $a>0$، مقادیر $a$، $b$ و $c$ را به‌دست آورید. (1)

معادله $\sin 2x=\sin x$ را حل کنید. (1)

نشان دهید در شکل زیر رابطه بین زاویه $\beta$ و $x$ به‌صورت زیر است. (1)

$\tan \beta =\frac{5x}{x^2+6}$

حدهای زیر را محاسبه کنید. (نماد $[]$ علامت جزء صحیح است.) (1/5)

الف) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{[2x]-1}{x-1}$

ب) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-3x}{1-x^2}$

پ) $\underset{x\to -\infty }{\lim }(-3x^3+2x+1)$

مجانب‌های قائم و افقی منحنی تابع $f(x)=\frac{2x-1}{x^3+2x}$ را به‌دست آورده و سپس وضعیت نمودار تابع را در نزدیکی مجانب قائم آن نمایش دهید. (1/25)

مشتق‌پذیری تابع $f(x)=\{\begin{array}{cc}\left|x\right|& x<0\\ x^2& x\ge 0\end{array}$ را در نقطه $x=0$ به کمک تعریف مشتق بررسی کنید. (1/5)

اگر $f^{\prime }(1)=3$، $g^{\prime }(1)=5$ و $f(1)=1$، مقدار مشتق $(f+g)of$ در $x=1$ را به‌دست آورید. (0/75)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2)

الف) $f(x)={(x^3+1)}^2\left(\sqrt{3x+2}\right)$

ب) $g(x)={\sin }^{2}3x+\tan (x^2)$

جسمی را از سطح زمین به‌طور عمودی پرتاب می‌کنیم. فرض کنیم ارتفاع این جسم (برحسب متر) از سطح زمین در هر لحظه از معادله $h(t)=-5t^2+40t$ به‌دست می‌آید. ($t$ برحسب ثانیه) (1/5)

الف) سرعت متوسط جسم در بازه زمانی $\left[3,4\right]$ را به‌دست آورید.

ب) لحظه‌ای را معلوم کنید که سرعت جسم برابر $20m/s$ است.

مقدار ماکزیمم مطلق تابع $f(x)=x^3-12x$ در بازه $\left[-1,3\right]$ را به‌دست آورید. (1/5)

مقادیر $a$، $b$ و $c$ را در تابع $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ طوری به‌دست آورید که در نقطه $(3,-1)$ اکسترمم نسبی داشته باشد و $x=1$ طول نقطه عطف آن باشد. (1/5)

جدول رفتار و نمودار تابع $y=(x+2){(x-4)}^2$ را رسم کنید. (1/75)