حل تشریحی سوالات ریاضی 3 - آزمون امتحان نهایی 1403

درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید.

الف) هر نقطه اکسترمم نسبی تابع، یک نقطه بحرانی آن است.

ب)‌ تابع $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ در x=0 مشتق‌پذیر است.

ج) در تابع $f\left(x\right)=4+\sqrt{z-1}$ دامنه تابع $y=\left(f^{-1}of\right)\left(x\right)$ برابر $\left[1,+\infty \right)$ است.

جاهای خالی را با عبارت یا عدد مناسب کامل کنید.

الف) تابع $g\left(x\right)=x^2-4x+5$ در بازه $\left(-\infty .a\right]$ اکیداً‌نزولی است. حداکثر مقدار a برابر .................... است.

ب) مقدار عددی عبارت $\sin 15^0\cos 15^0$ برابر .................... است.

ج) اگر صفحه P در یکی از موقعیت‌ها با مولد سطح مخروطی موازی باشد و از رأس آن عبور نکند، شکل حاصل .................... است.

به کمک انتقال نمودار تابع $y=x^3$ نمودار تابع $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^3+1$ را رسم کنید.

در شکل روبه‌رو نمودار تابع f رسم شده است.

الف) نمودار تابع g با ضابطه g(x)=f(2x) را رسم کنید.

ب) مقدار gof(0) را به‌دست آورید.

تابع $f\left(x\right)=\sqrt{x+4}-1$ را در نظر بگیرید. دامنه و ضابطه تابع وارون آن را بیابید.

اگر بیشترین و کمترین مقدار تابع $y=a\sin \left(8x\right)+c$ به‌ترتیب 9 و 3 باشد.

الف) مقادیر $\left|a\right|$ و c را بیابید

ب) دوره تناوب تابع را به‌درست آورید.

جواب‌های معادله $\cos \left(2x\right)=\frac{1}{2}$ را در بازه $\left(0,\pi \right)$ به‌دست آورید.

حدود زیر را محاسبه کنید. (نماد [] علامت جزء صحیح است.)

الف) ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

ب) ${\lim }_{x\to 5}\frac{1}{{\left(x-5\right)}^4}$

ج) ${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{3-\left[x\right]}{x-3}$

د) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{-6x^3+7x-9}{2x^3-4x^2+x}$

اگر نمودار تابع f از نقطه نقطه $A\left(2,4\right)$ بگذرد و ${\lim }_{x\to 2}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=2$ باشد، معادله خط مماس بر نمودار f را در نقطه A به‌دست آورید.

با استفاده از تعریف مشتق، شیب نیم مماس چپ تابع f(x)=​x2−4​ را در x=2 بیابید.

مشتق تابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.)

$f\left(x\right)={\left(x-6\right)}^3+\frac{5x+3}{\sqrt{2x-1}}$

تابع $f\left(x\right)=x^2-x$ را در نظر بگیرید.

الف) آةنگ تغییر متوسط تابع f را در بازه $\left[0,2\right]$ به‌دست آورید.

ب) حدود x را چنان بیابید که آهنگ تغییر لحظه‌ای تابع f از آهنگ تغییر متوسط آن در بازه $\left[0,2\right]$ بزرگ‌تر باشد.

در نمودار تابع مقابل، طول نقاط ماکزیمم نسبی،‌ مینیمم نسبی، ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق را بیابید.

مطابق شکل زیر، نقطه A در ناحیه اول دستگاه مختصات روی منحنی $y=12-x^2$ قرار دارد.

با استفاده از جدول تغییرات، مختصات نقطه A را چنان بیابید که مساحت مثلث قائم‌الزاویه OAB بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد.

در یک بیضی فاصله کانونی با طول قطر کوچک آن برابر است. خروج از مرکز بیضی را بیابید.

اگر مرکز دایره $x^2+y^2+ax-4y-4=0$ نقطه $O\left(1,2\right)$ باشد.

الف) مقدار a را بیابید.

ب) شعاع دایره را محاسبه کنید.

سه ظرف یکسان داریم. در اولین ظرف 15 مهره قرار دارد که 3 تای آن‌ها قرمز است. در ظرف دوم هیچ مهره قرمزی وجود ندارد و در ظرف سوم 12 مهره داریم که 6 تای آن‌ها قرمز است. با چشم بسته یک ظرف را انتخاب کرده و یک مهره از آن خارج می‌کنیم. با چه احتمالی این مهره قرمز است.