حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس هندسه (2) یازدهم خرداد 1403 (ریاضی) - امتحان نهایی خرداد 1403

الف) هر چندضلعی منتظم، هم محاطی و هم محیطی است. (درست - نادرست) (0/25)

ب) طول مماس مشترک خارجی دو دایره مماس برون به شعا‌ع‌های $R$ و $R^{\prime }$ برابر $2\sqrt{R+R^{\prime }}$ است. (درست - نادرست) (0/25)

پ) اندازۀ هر زاویه ظلی برابر است با ............ اندازه کمان روبه‌رو به آن زاویه. (0/25)

ت) اگر $r_a$، $r_b$ و $r_c$ شعاع‌های سه دایره محاطی خارجی یک مثلث و شعاع دایره محاطی داخلی آن برابر 4 باشد، حاصل $\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}$ برابر ............ است. (0/25)

ثابت کنید هرگاه خط‌های شامل دو وتر دلخواه $AB$ و $CD$ در نقطه‌ای مانند $M$ (بیرون دایره) یکدیگر را قطع کنند، آنگاه: $MA\cdot MB=MC\cdot MD$ (1/5)

ثابت کنید اگر یک چهارضلعی محاطی باشد، آنگاه دو زاویۀ مقابل آن مکمل هستند. (1/5)

در شکل زیر وتر $AB$ بر قطر $CD$ عمود است. ثابت کنید قطر $CD$ وتر $AB$ و کمان $AB$ را نصف می‌کند. (1/5)

در مثلث قائم‌الزاویه‌ای با اضلاع زاویه قائمه 3 و 4، شعاع دایرۀ محاطی داخلی را محاسبه کنید. (1/25)

در شکل زیر $MT$ به طول $3\sqrt{2}$ مماس بر دایره است. مقادیر عددی $x$ و $y$ را به‌دست آورید. (1/25)

برای هر کدام از عبارات گروه $A$، تبدیل مناسب را از گروه $B$ انتخاب کنید. (یک مورد از گروه $B$ اضافی است.) (0/75)

با توجه به شکل زیر نشان دهید در تبدیل انتقال، اندازۀ هر پاره‌خط و اندازۀ تصویر آن با هم برابرند. (1)

($AB\Vert \vec{V}$ و اندازۀ $\vec{V}$ از اندازۀ پاره‌خط $AB$ کوچک‌تر است.)

نقاط $A^{\prime }$، $B^{\prime }$ و $C^{\prime }$ به ترتیب دوران یافتۀ نقاط $A$، $B$ و $C$ هستند. روش یافتن مرکز دوران را شرح دهید. (0/5)

در شکل زیر اگر خط $L$ را در تجانس به مرکز $O$ و نسبت تجانس $\frac{7}{4}$ تصویر کنیم و آن را $L^{\prime }$ بنامیم، مساحت بین خط $L$ و $L^{\prime }$ و خطوط $d$ و $d^{\prime }$ چقدر است؟ (1/5)

با توجه به شکل، نقطۀ $M$ روی پاره‌خط $HK=8$ را به‌گونه‌ای بیابید که: (1/25)

الف) مسیر $AMB$ کوتاه‌ترین مسیر ممکن باشد.

ب) کمترین مقدار عددی $AM+MB$ را محاسبه کنید.

در شکل زیر، می‌خواهیم بدون آن‌که محیط تغییر کند، مساحت را افزایش دهیم. میزان افزایش مساحت را حساب کنید. (1)

در مثلث $ABC$، $BC=10cm$، $\hat{A}={30}^{{}^{\circ }}$، مقدار شعاع دایره محیطی کدام است؟ (0/5)

الف) 10

ب) 15

پ) 20

ت) 25

در مثلث $ABC$ که $(\hat{A}<{90}^{{}^{\circ }})$، ثابت کنید: $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A$ (1/5)

مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع به ضلع $a$ را به کمک دستور هرون بیابید. (1)

در مثلث $ABC$، $AB=7$، $AC=4$ و $BC=10$ است. طول نیمساز داخلی زاویۀ $C$ را محاسبه کنید. (1/5)

در مثلث $ABC$ که $AB=4$، $AC=6$ و $BC=8$، نقطۀ $M$ وسط ضلع $BC$ است. محیط مثلث $AMC$ را به‌دست آورید. (1/5)