حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس آمار و احتمال یازدهم خرداد 1403 - امتحان نهایی خرداد 1403

درست یا نادرست بودن هر یک از عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) اگر $A$ یک مجموعه دلخواه باشد، آن‌گاه $A\times \varnothing =\varnothing$.

ب) اگر $A$ و $B$ دو پیشامد ناتهی و ناسازگار از یک فضای نمونه‌ای باشند، آن‌گاه $A$ و $B$ مستقل از یکدیگرند.

پ) اگر تمام داده‌ها را در عدد 3 ضرب کنیم، ضریب تغییرات داده‌ها 3 برابر می‌شود.

هر جای خای را با عبارت مناسب پر کنید. (0/75)

الف) اگر $p$ یک گزاره دلخواه و $F$ یک گزاره همواره نادرست باشد، آن‌گاه: $p\vee F\equiv \cdots \cdots \cdots$

ب) اگر داده‌های $12,12,x,10,8,10$ مُد نداشته باشند، آن‌گاه $x$ برابر ............ است.

پ) اگر یک روش نمونه‌گیری از نمونه‌گیری ایده‌آل فاصله بگیرد و به سمتی خاص انحراف پیدا کند، می‌گویند آن روش نمونه‌گیری ............ است. (اریب - نااریب)

با وارد کردن جدول زیر در پاسخ‌برگ و سپس تکمیل آن، نشان دهید که: $(p\Rightarrow q)\equiv (\sim p\vee q)$. (1)

گزاره زیر را با استفاده از نماد سورها ($\forall$ یا $\exists$) بنویسید و سپس ارزش آن را با ذکر دلیل مشخص کنید. (1)

"هر عدد طبیعی از مربع خودش کوچک‌تر است."

اگر $A$، $B$، $C$ و $D$ چهار مجموعه با مرجع $U$ باشند، به روش عضوگیری دلخواه ثابت کنید اگر $A\subseteq B$ و $C\subseteq D$، آن‌گاه $A\cup C\subseteq B\cup D$. (1)

اگر $A$ و $B$ دو مجموعه با مرجع $U$ باشند، با استفاده از جبر مجموعه‌ها عبارت $(A-B)\cup (A\cap B)$ را تا حد امکان ساده کنید. (1)

اگر $A=\left\{-1,2\right\}$ و $B=\mathbb{R}$، نمودار حاصل‌ضرب دکارتی $A\times B$ را در دستگاه محورهای مختصات رسم کنید. (0/5)

عددی به تصادف از بین اعداد طبیعی 1 تا 200 انتخاب کنید. احتمال آنکه عدد انتخای بر 3 بخش‌پذیر باشد ولی بر 4 بخش‌پذیر نباشد، را محاسبه کنید. (1)

یک تاس به‌گونه‌ای ساخته شده است که احتمال وقوع هر عدد اول، چهار برابر احتمال وقوع هر عدد غیر اول است. در پرتاب این تاس، احتمال اینکه عدد زوج مشاهده شود را به‌دست آورید. (1/25)

فرض کنید $A$ و $B$ دو پیشامد از فضای نمونه‌ای $S$ باشند به‌طوری که $P(B)\ne 0$، ثابت کنید: (0/75)

$P(A^{\prime }|B)=1-P(A|B)$

دروازه‌بان یک تیم فوتبال، اگر روحیه خوبی داشته باشد، با احتمال 60 درصد و اگر روحیه بدی داشته باشد، با احتمال 30 درصد ضربه پنالتی را مهار می‌کند. پیش از اولین ضربه پنالتی، روحیه این دروازه‌بان خوب است. احتمال آن را به‌دست آورید که این دروازه‌بان در سه ضربه پنالتی اول، دوم و سوم، دقیقاً دو ضربه آخر را مهار کند. (با هر مهار پنالتی، روحیه دروازه‌بان خوب و در غیر این صورت بد می‌شود.) (1)

در مدرسه‌ای 60 درصد دانش‌آموزان در رشته تجربی و 40 درصد دانش‌آموزان در رشته ریاضی تحصیل می‌کنند. در این مدرسه، $\frac{1}{3}$ دانش‌آموزان رشته تجربی و $\frac{1}{4}$ دانش‌آموزان رشته ریاضی، معدل بالا 18 کسب کرده‌اند. دانش‌آموزی به تصادف از این مدرسه انتخاب شده و معدل او بالای 18 است. احتمال آنکه این فرد، دانش‌آموز رشته تجربی باشد را به‌دست آورید. (1/5)

در پرتاب دو تاس، فرض کنید $A$ پیشامد مشاهده عدد 5 در تاس اول و $B$ پیشامد مجموع 9 در برآمدهای دو تاس باشد. مستقل بودن یا نبودن پیشامدهای $A$ و $B$ را بررسی کنید. (1/25)

جدول فراوانی زیر مربوط به قد دانش‌آموزان یک کلاس برحسب سانتی‌متر است. (1/25)

الف) مقدارهای عددی $a$ و $b$ را در جدول پیدا کنید.

ب) نمودار بافت نگاشت فراوانی قد دانش‌آموزان را رسم کنید.

حسین در یک آزمون شرکت کرده و کارنامه آزمون او به شرح زیر است. اگر معدل موزون (میانگین وزن‌دار) نمره‌های این آزمون حسین، 70 باشد، نمره فیزیک او را محاسبه نمایید. (1/25)

انحراف معیار داده‌های زیر را به‌دست آورید. (مراحل محاسبه انحراف معیار را به شکل کامل بنویسید.) (1/25)

$16,8,10,12,14$

چارک اول، میانه و چارک سوم داد‌ه‌های زیر را بیابید. (0/75)

$2,5,7,3,9,4,1,6,6,7$

در هر مورد مناسب‌ترین روش نمونه‌گیری را بنویسید. (0/5)

الف) می‌خواهیم میانگین نمره‌های ریاضی دانش‌آموزان یک شهر را محاسبه کنیم. فهرست همه دانش‌آموزان را نداریم اما فهرست مدارس موجود است.

ب) مدیر یک مدرسه می‌خواهد نظرات دانش‌آموزان را برای تغییر ساعت تعطیلی مدرسه بداند. مدرسه 6 پایه دارد و حدس می‌زنیم که نظر 6 پایه با هم متفاوت است.

در یک دانشگاه میانگین سن یک نمونه تصادفی 25 نفره از دانشجویان برابر 22 سال است. اگر در بررسی‌های گذشته، انحراف معیار سن دانشجویان این دانشگاه برابر 2 سال باشد، بازه اطمینان 95 درصد برای میانگین سن جامعه دانشجویان این دانشگاه را محاسبه کنید. (1)

داده‌های مربوط به مطالعه یک جامعه 7 عضوی به‌صورت زیر است: (1/25)

$3,1,4,0,2,6,5$

الف) تمام نمونه‌های دو عضوی از جامعه را بنویسید که میانگین آن‌ها 3 باشد.

ب) احتمال آنکه یک نمونه دو عضوی که به تصادف انتخاب شده است، دارای میانگین 3 باشد، را به‌دست آورید.