حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس حسابان (1) یازدهم خرداد 1403 - امتحان نهایی خرداد 1403

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) مجموع ریشه‌های معادلۀ $4x^2-3x-7=0$ برابر $-\frac{3}{4}$ است.

ب) در معادلۀ $\left|y\right|=x+1$، $y$ تابعی از $x$ نیست.

پ) دو تابع $f(x)={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ و $g(x)=-{\log }_{5}x$ وارون یکدیگرند.

ت) اگر تابع $f(x)+g(x)$ در $x=a$ حد داشته باشد، آن‌گاه هر دو تابع $f(x)$ و $g(x)$ در $x=a$ حد دارند.

در جاهای خالی عبارت مناسب قرار دهید. (1)

الف) نمایش عبارت «فاصله بین $x$ و 3 برابر 7 است» با نماد قدرمطلق به‌صورت ............ است.

ب) برای هر دو تابع، اگر دامنه‌ها با هم برابر و بردها نیز با یکدیگر برابر باشند، دو تابع برابر ............ . (هستند، نیستند)

پ) انتهای کمان روبه‌رو به زاویۀ 6 رادیان در ربع ............ دایرۀ مثلثاتی قرار دارد.

ت) اگر بازۀ $\left(x-1,7\right)$ همسایگی عدد 2 باشد، حدود $x$ بازۀ ............ می‌باشد.

مجموع همۀ اعداد طبیعی دو رقمی مضرب 6 را بنویسید. (از فرمول مجموع جملات دنباله استفاده کنید.) (1/25)

شکل روبه‌رو نمودار سهمی $y=a{x}^2+bx+c$ می‌باشد، علامت ضرایب $b$ و $c$ را تعیین کنید. (0/5)

معادلۀ $\sqrt{x+1}=x-5$ را حل کنید. (1)

فاصلۀ نقطۀ $A\left(-2,4\right)$ از خط $4x-3y+12=0$ را به کمک فرمول فاصلۀ نقطه از خط به‌دست آورید. (0/75)

نمودار تابع زیر را رسم کرده و دامنه و برد آن را بنویسید. ($\left[\right]$ نماد جزءصحیح است.) (1/25)

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{x+2}& -2\le x<0\\ & \\ \left[x\right]& 0\le x<2\end{array}$

ابتدا مشخص کنید کدام‌یک از توابع زیر یک‌به‌یک است، سپس ضابطۀ وارون آن را بنویسید. (0/75)

الف) $f(x)={(x-3)}^{2}x\ge 0$

ب) $g(x)=\left|x-1\right|+2x\ge 1$

الف) اگر $f(x)=\sqrt{1-x}$ و $g(x)=x^2-3$ باشد، دامنۀ $fog$ را با استفاده از تعریف به‌دست آورید. (1/25)

ب) اگر $f=\left\{(2,4),(-2,3),(3,4)\right\}$ و $g=\left\{(2,-2),(1,7),(3,0)\right\}$ باشد، تابع $\frac{f}{g}$ را بنویسید. (0/25)

نیمه‌عمر یک مادۀ هسته‌ای 30 سال است. نمونه‌ای از یک ماده، 128 میلی‌گرم جرم دارد. جرمی که پس از 300 سال باقی می‌ماند را محاسبه کنید. (0/75)

اگر $\log 2=a$ و $\log 3=b$ باشد، حاصل $\log \sqrt{0/75}$ را برحسب $a$ و $b$ به‌دست آورید. (1)

معادلۀ لگاریتمی ${\log }_2(x+7)-{\log }_2(x-2)=2$ را حل کنید. (1)

در یک دایره به شعاع 3 سانتی‌متر، اندازۀ کمان روبه‌رو به زاویۀ مرکزی ${20}^{\circ }$ را تعیین کنید. (0/75)

مقدار عددی هر یک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید. (2/25)

الف) $\sin (\frac{5\pi }{4})+\cos ({300}^{\circ })$

ب) $\cos ({15}^{\circ })$

نمودار تابع $f(x)=-\sin x+1$ را به کمک نمودار $y=\sin x$ در بازۀ $\left[0,2\pi \right]$ رسم کنید. (0/75)

با توجه به نمودار تابع $f(x)$ مقدار عبارت، $A=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left[f(x)\right]+f(2)+\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$ را به‌دست آورید. ($\left[\right]$ نماد جزءصحیح است.) (1)

حدود زیر را محاسبه کنید. ($\left[\right]$ نماد جزءصحیح است.) (2)

الف) $\underset{x\to 3}{\lim }5$

ب) $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x^2\left[x\right]-27}{x-3}$

پ) $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{1-\sin x}{\cos x}$

مقادیر $a$ و $b$ را چنان تعیین کنید که تابع زیر در $x=1$ پیوسته باشد. (1/5)

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}& x>1\\ & \\ b-1& x=1\\ & \\ x-2a& x<1\end{array}$