حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی و آمار (2) یازدهم خرداد 1403 - امتحان نهایی خرداد 1403

درستی یا نادرستی هر یک از عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) گزارۀ $(P\wedge \sim P)$ همیشه نادرست است.

ب) ارزش گزارۀ شرطی $(p\Rightarrow q)$ به انتفای مقدم، همواره درست است.

پ) اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشد، آن تابع را همانی می‌گویند.

ت) اگر تابع علامت به‌صورت $f(x)=sign(x)$ باشد، در این صورت $sign(-200)=+1$.

جاهای خالی را با عدد یا عبارت مناسب کامل کنید. (1)

الف) گزاره‌ای که به‌صورت «اگر $p$ آنگاه $q$ و برعکس» بیان می‌شود، دارای ترکیب ............ است.

ب) اگر $f$ تابعی ثابت باشد، حاصل $f(5)-f(3)$ برابر ............ است.

پ) اگر $n=2$ باشد، زوج مرتب $(n+1,...)$ روی نیمساز ناحیه اول و سوم قرار دارد.

ت) تغییر متوسط کالاها و خدمات در طول زمان را ............ می‌نامند.

در سؤالات زیر گزینه صحیح را انتخاب کنید. (1)

الف) کدام‌یک از جملات زیر گزاره است؟

1) لطفاً در را باز کن.

2) چه هوای سردی!

3) شما اهل کجایید؟

4) عدد 7 عددی اول است.

ب) هم‌ارز گزارۀ $\sim (p\wedge q)$ کدام گزاره است؟

1) $\sim (p\vee q)$

2) $(p\vee \sim q)$

3) $(\sim p\vee \sim q)$

4) $(p\wedge \sim q)$

پ) حاصل عبارت $\left[1/5\right]+\left[-1/5\right]$ برابر کدام گزینه است؟ ($\left[\right]$ نماد جزء صحیح است.)

1) صفر

2) $+1$

3) $-1$

4) $-2$

ت) کدام شاخص تحولات قیمت را بر مبنای یک سال پایه نشان می‌دهد؟

1) بهای کالا و خدمات

2) تورم

3) خط فقر

4) توده بدنی

ارزش گزارۀ «عدد 9 مربع کامل است» را مشخص کرده، سپس نقیض آن را بنویسید. (1)

اگر $p$ گزاره‌ای درست و $q$ گزاره‌ای نادرست و $r$ گزاره‌ای دلخواه باشد، در این صورت ارزش گزاره $(p\iff q)\Rightarrow r$ را مشخص کنید. (0/5)

با استفاده از جدول ارزش‌ها درستی هم‌ارزی $(p\Rightarrow q)\equiv (\sim p\vee q)$ را نشان دهید. (2)

گزاره‌های زیر را به‌صورت نماد ریاضی بنویسید. (1)

الف) اگر از مکعب عددی یک واحد کم کنیم، حاصل برابر با 26 می‌شود.

ب) حاصل‌ضرب عددی در خودش، به‌علاوه 5 بزرگ‌تر از خود آن عدد است.

به کمک قیاس استثنایی، استدلال زیر را کامل کنید. (0/5)

مقدمه 1: اگر امشب شب چهاردهم ماه باشد، آنگاه ماه کامل است.

مقدمه 2: امشب شب چهاردهم ماه است.

نتیجه: ............

عکس نقیض گزاره شرطی «اگر $n^2$ عددی زوج باشد، آنگاه $n$ عددی زوج است» را بنویسید. $(n\in \mathbb{Z})$ (0/75)

اگر دامنۀ تابع $f(x)=x^2+1$ برابر $D=\{-1,0,2\}$ باشد، برد تابع را به‌دست آورید. (0/75)

اگر $f=\left\{(5,a+1),(6,c),(2b,10)\right\}$ یک تابع همانی باشد، حاصل $\frac{a+c}{b}$ را بیابید. (1/75)

در تابع $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& x>0\\ 2x+1& x\le 0\end{array}$ حاصل عبارت $f(\sqrt{2})+f(-1)$ را به‌دست آورید. (1/25)

جدول مالیاتی که توسط هیئت‌مدیره یک شرکت برای سال مالی جدید آماده و تصویب‌شده، به‌صورت زیر است:

کارمندی با حقوق 10,000,000 تومان، چقدر مالیات باید بپردازد؟ (0/75)

ابتدا نمودار تابع $y=\left|x\right|$ را رسم کرده و به کمک آن نمودار تابع $y=\left|x\right|+1$ را رسم نمایید. (1)

اگر $f=\left\{(2,5),(-1,0),(3,7)\right\}$ و $g=\left\{(2,2),(3,6),(0,1)\right\}$ باشد: (2)

الف) توابع $f-g$ و $f\times g$ را مشخص کنید.

ب) مقدار $(\frac{f}{g})(2)$ را حساب کنید.

نمودار تابع $f$ به‌صورت زیر داده شده است. اگر $g(x)=1$ باشد، ابتدا ضابطۀ تابع $f+g$ را نوشته، سپس نمودار آن را رسم کنید. (0/75)

درآمد ماهیانه 7 نفر از کارمندان یک شرکت برحسب میلیون تومان به‌صورت زیر است:

13 و 30 و 4 و 12 و 5 و 10 و 20

خط فقر را به روش نصف میانه، محاسبه کنید. (0/75)

اگر سبد هزینه خانواده‌ای شامل دو کالای برنج و گوشت باشد و قیمت این دو کالا (برحسب هزار تومان) در سال پایه به ترتیب 80 و 500 باشد و در سال موردنظر به 120 و 700 برسد، با فرض اینکه مقادیر مصرفی برنج و گوشت در سال پایه به ترتیب 60 و 40 کیلوگرم باشد، شاخص بهای این دو کالا را به‌دست آورید. (1/5)

در یک منطقه از میان افراد 16 ساله و بیشتر، تعداد 1200 نفر شاغل و 300 نفر بیکار هستند. نرخ بیکاری در این منطقه را به‌دست آورید. (0/75)