حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس هندسه (3) دوازدهم خرداد 1402 (ریاضی) - امتحان نهایی خرداد 1402

ماتریس‌های $A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 1\end{array}\right]$ و $B=\left[\begin{array}{cc}x+1& y+2\\ 3& 2\end{array}\right]$ را در نظر بگیرید، اگر $A+B=\left[\begin{array}{cc}5& 4\\ 8& 3\end{array}\right]$ باشد، آنگاه مقادیر $x$ و $y$ را به‌دست آورید. (0/5)

ماتریس $A={\left[a_{ij}\right]}_{3\times 3}$ به صورت $a_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$ معرفی شده است، مقدار $k$ را طوری پیدا کنید که رابطه $k\left|kA\right|=625$ برقرار باشد. (1/25)

در تساوی ماتریسی $\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 7& 3\end{array}\right]A=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$، ماتریس $A$ را به‌دست آورید. (1/25)

اگر $A=\left[\begin{array}{ccc}\left|A\right|& 0& 1\\ 1& \left|A\right|& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right]$ باشد، مقدار $\left|A\right|$ را بیابید. (1)

الف) مکان هندسی نقاطی که از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله‌اند، ............ آن زاویه است. (0/25)

ب) بیضی مکان هندسی نقاطی از یک صفحه است که از یک خط ثابت در آن صفحه و از یک نقطه ثابت غیرواقع بر آن خط در آن صفحه به یک فاصله باشد. (درست – نادرست) (0/25)

معادلۀ دایره‌ای را بنویسید که $O(1,0)$ مرکز آن بوده و بر خط $x=-3$ مماس باشد. (0/75)

مقدار $c$ را چنان بیابید که دایره $x^2+y^2-2x+2y+c=0$ بر دایره ${(x+1)}^2+{(y-1)}^2=2$ مماس بیرون باشد. (1/75)

در شکل زیر دو نقطه $A$ و $B$ روی بیضی با کانون‌های $F$ و $F^{\prime }$ قرار دارند. اگر $A{F}^{\prime }=BF$ و همچنین $AF$ و $B{F}^{\prime }$ یکدیگر را درون بیضی در نقطه‌ای مانند $M$ قطع کنند، نشان دهید: مثلث $FM{F}^{\prime }$ متساوی‌الساقین است و $M$ روی قطر کوچک بیضی قرار دارد. (1/5)

در شکل زیر نقطه $M$ روی بیضی با کانون‌های $F$ و $F^{\prime }$ قرار دارد، به‌طوری که $MF=8$ و $M{F}^{\prime }=6$. اگر خروج از مرکز بیضی $\frac{1}{7}$ باشد، اندازه نصف قطر کوچک بیضی را به‌دست آورید. (1/25)

سهمی با رأس $A(1,2)$ و کانون $F(1,-2)$ مفروض است. معادله سهمی و خط هادی آن را بنویسید. (1/5)

اگر اندازه گودی (عمق) یک دیش مخابراتی دو برابر شود، فاصله کانونی این دیش چه تغییری می‌کند؟ (با ارائه راه‌حل) (0/75)

شکل کلی (نمودار) مربوط به روابط $y^2+x\le 0,x>-2$ را در فضای دو بعدی رسم کنید. (0/75)

الف) در فضای سه‌بعدی، نمودار مربوط به معادلات $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=1\end{array}$ خطی موازی محور ............ است. (0/5)

ب) حاصل عبارت $(\vec{i}\times \vec{j}).\vec{i}$ برابر صفر است. (درست - نادرست) (0/5)

پ) زاویه بین بردارهای غیر صفر $\vec{a}$ و $\vec{b}$، برابر $\theta$ است. در کدام‌یک از موارد زیر حاصل‌ضرب داخلی آن‌ها بیشترین مقدار را دارد. (0/25)

1) $\theta =0$

2) $\theta =\frac{2\pi }{3}$

3) $\theta =\frac{\pi }{2}$

4) $\theta =\frac{\pi }{3}$

ت) کدام‌یک از بردارهای زیر، بر راستای دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$ عمود نیست. (0/25)

1) $\sqrt{3}\vec{a}\times (-\frac{\sqrt{3}}{3}\vec{b})$

2) $\vec{a}\times \vec{b}$

3) $2\vec{a}+3\vec{b}$

4) $\vec{b}\times \frac{\sqrt{2}}{5}\vec{a}$

نقطه $A$ به ارتفاع 3 روی محور $Z$ها و نقطه $B(1,0,1)$ در فضا مفروض‌اند. فاصله مختصات وسط $AB$ تا مبدأ مختصات را حساب کنید. (0/75)

نشان دهید: تصویر قائم بردار $\vec{a}$ روی بردار $\vec{b}$ برابر ${\vec{a}}^{\prime }=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{{\left|\vec{b}\right|}^2}\vec{b}$ است. (1/25)

بردارهای $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}$، $\vec{b}=(0,1,1)$ و $\vec{c}=\vec{i}+\vec{k}$ بر سه یال یک متوازی‌السطوح منطبق هستند. اگر قاعده این متوازی‌السطوح توسط بردارهای $\vec{b}$ و $\vec{c}$ تولید شود، اندازه ارتفاع وارد بر این وجه را محاسبه کنید. (1/25)

زاویه بین دو بردار $\vec{a}=(2,-1,2)$ و $\vec{b}=(1,-1,0)$ را به‌دست آورید. (1/25)

بردار $\vec{a}=(4,-4,2)$ مفروض است. بردار $\vec{b}$ غیرهم‌جهت با $\vec{a}$ و به طول 12 را طوری بیابید که $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$ باشد. (1/25)