حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس حسابان (2) دوازدهم خرداد 1402 (ریاضی) - امتحان نهایی خرداد 1402

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (0/5)

الف) تابع $f(x)=[x]$ در نقطه $x=1$ مشتق‌پذیر است.

ب) اگر $f^{\prime }\left(c\right)=0$ باشد، آنگاه $x=c$ یک نقطه اکسترمم نسبی است.

 جاهای خالی را با عدد یا کلمه مناسب کامل کنید. (1/5)

الف) اگر دوره تناوب تابع $y=\sin bx$ برابر $\frac{\pi }{3}$ باشد، مقدار $b$ برابر ............ است.

ب) دامنه تابع $y=\tan (3x)$ برابر ............ است.

پ) اگر $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{m{x}^2+x}{2x^2+3}=7$ آنگاه $m$ برابر عدد ............ است.

نمودار تابع $g(x)=x^3-3x^2+3x$ را به کمک انتقال نمودار $f(x)=x^3$ رسم کنید، سپس اکیداً یکنوایی تابع $g\left(x\right)$ را در تمام دامنه خود، بررسی کنید. (1)

اگر ${(\frac{1}{5})}^{2x+1}\le \frac{1}{125}$ باشد، حدود $x$ را بیابید. (0/75)

اگر چند جمله‌ای $x^2+ax-8$ بر $x-a$ بخش‌پذیر باشد، مقدار $a$ را تعیین کنید. (0/75)

معادله $\sin x\cos x=\frac{1}{4}$ را حل کنید. (1)

حدود توابع زیر را در صورت وجود بیابید. (1/25)

الف) $\underset{x\to {(\frac{1}{2})}^{-}}{\lim }\frac{5x}{\left|2x-1\right|}$

ب) $\underset{x\to {(-3)}^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x^2+6x+9}$

مجانب‌های قائم و افقی منحنی تابع $f(x)=\frac{3x-5}{x^2+2}$ را در صورت وجود بیابید. (0/75)

مشتق‌پذیری تابع $f(x)=\{\begin{array}{cc}3x-4& x<1\\ 2x^2-3& x\ge 1\end{array}$ را در نقطه $x=1$ بررسی کنید. (1/5)

با استفاده از تعریف مشتق نشان دهید اگر $x>0,f(x)=\sqrt{x}$ آنگاه $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. (1/25)

اگر $f(x)=\cos 2x$ باشد، مقدار $f^{\prime \prime }(\frac{\pi }{8})$ را به‌دست آورید. (0/75)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2)

الف) $f(x)={(5x^3-x)}^9(\sqrt{2x+1)}$

ب) $g(x)=\frac{4\tan x}{3x^2-1}$

در تابعی با ضابطه $f(t)=\frac{120}{t}+5$ مجموع آهنگ لحظه‌ای تغییر در لحظه $t=2$ و آهنگ متوسط تغییر تابع $f(t)$ در بازه $[4,6]$ را بیابید. (1/25)

در شکل نمودار رسم شده است، طول نقاط اکسترمم‌های نسبی و مطلق را مشخص کنید. (1)

مقادیر $a$ و $b$ و $c$ را در تابع $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+c$ طوری به‌دست آورید که در شرایط زیر صدق کند.

$f(0)=1$ و $f(2)=-3$ و $x=1$ طول نقطه عطف نمودار تابع $f$ باشد. (1/5)

با رسم جدول تغییرات نشان دهید که تابع $f(x)=\frac{1}{2}{x}^4+x^2+1$ در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است. (1/5)

جدول رفتار و نمودار تابع $y=\frac{-x}{x+1}$ را رسم کنید. (1/75)