حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضیات گسسته دوازدهم خرداد 1402 (ریاضی) - امتحان نهایی خرداد 1402

درست یا نادرست بودن عبارات زیر را مشخص کنید. (1)

الف) حاصل‌ضرب هر عدد گویای ناصفر  در یک عدد گنگ، عددی گنگ است.

ب) حاصل  $(3m+1,3m+2)$ برابر 1 می‌باشد.

ج) تعداد رئوس فرد هر گراف، عددی فرد است.

د) عدد احاطه‌گری $P_{10}$ برابر عدد 3 است.

جاهای خالی را با عبارت مناسب پر کنید. (1/5)

الف) در یک گراف از مرتبه $p$، اگر $\gamma (G)=1$ باشد، در این صورت حداقل تعداد یال‌ها برابر ............ است.

ب) در یک مربع لاتین چرخشی $4\times 4$ مجموع درایه‌های روی قطر اصلی برابر ............ است.

ج) تعداد توابع یک‌به‌یک از یک مجموعه 3 عضوی به یک مجموعه 5 عضوی برابر ............ است.

اگر $x$، $y$ و $z$ سه عدد حقیقی باشند، ثابت کنید: $x^2+y^2+1\ge 2xy-z^2$ (0/75)

اگر $a|2m+3$ و $a|m+7$ در این صورت چند مقدار صحیح و نامنفی برای $a$ وجود دارد؟ (1)

باقیمانده تقسیم $a$ بر دو عدد 4 و 5 به ترتیب برابر 3 و 4 می‌باشد، باقیمانده تقسیم $a$ بر 20 را محاسبه کنید. (با راه‌حل) (1/5)

در معادله سیاله $15x+19y=7$، بزرگ‌ترین عدد 2 رقمی طبیعی که می‌توان برای $x$ در نظر گرفت چه مقداری می‌باشد؟ (با راه‌حل) (1/25)

به گراف 8 رأسی 3-منتظم چند یال اضافه کنیم تا تبدیل به گراف کامل شود؟ (با راه‌حل) (1)

گراف $G$ به‌صورت زیر رسم شده است. با توجه به این گراف به سؤالات زیر پاسخ دهید. (0/75)

الف) مجموعه $N_G(g)$ را بنویسید.

ب) یک دور به طول 5 با شروع از رأس $a$ بنویسید.

ج) درجه رأس $c$ در گراف $\overline{G}$ (مکمل گراف $G$) را مشخص کنید.

گراف زیر را در نظر بگیرید. (1/5)

الف) یک مجموعه احاطه‌گر غیرمینیمال با 4 عضو بنویسید.

ب) یک مجموعه احاطه‌گر مینیمال با 4 عضو بنویسید.

ج) با اضافه کردن چه یالی به گراف، عدد احاطه‌گری گراف 2 خواهد شد؟

الف) یک گراف 8 رأسی (همبند یا ناهمبند) با عدد احاطه‌گری 3 رسم کنید که یک مجموعه احاطه‌گر یکتا با اندازه 3 داشته باشد. (0/5)

ب) یک گراف 8 رأسی (همبند یا ناهمبند) با عدد احاطه‌گری 3 رسم کنید که بیش از یک مجموعه احاطه‌گر با اندازه 3 داشته باشد. (0/5)

الف) عدد احاطه‌گری گراف زیر را با ارائه راه‌حل، تعیین کنید. (1/25)

ب) این گراف چند $-\gamma$ مجموعه دارد؟ (0/5)

اگر داشته باشیم $A=\{7,8,9\}$ و $B=\{a,b,c,d,e,f\}$ در این صورت چند کد با شش کارکتر متمایز می‌توان نوشت که هر یک شامل دو رقم از $A$ و چهار حرف از $B$ باشد؟ (0/75)

معادله $x_1+x_2+x_3+2x_4^3=10$ چند جواب صحیح و نامنفی دارد؟ (1/75)

قرار است 3 راننده با 3 نوع ماشین در 3 مسیر متفاوت در 3 روز اول هفته رانندگی کنند به‌گونه‌ای که هر راننده با هر نوع ماشین، هر مسیری را دقیقاً یک‌بار طی کرده باشد و نیز هر ماشین، هر یک از مسیرها را دقیقاً یک‌بار طی کند. برای این مسئله برنامه‌ریزی کنید. (1/5)

چند رمز 4 رقمی با ارقام 1 تا 5 می‌توان نوشت به‌طوری که هر رمز، حداقل یک رقم 3 و یک رقم 2 را شامل باشد؟ (نیاز به محاسبه پاسخ نهایی نمی‌باشد) (1/5)

حداقل افراد شرکت کننده در یک همایش چند نفر باشند، تا با اطمینان بتوان گفت که 5 نفر از آن‌ها در یک ماه متولد شده‌اند و رقم یکان کد ملی آن‌ها زوج است. (1/5)