حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی و آمار (3) دوازدهم شهریور 1403 - امتحان نهایی شهریور 1403

درستی یا نادرستی جمله‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) تعداد اعضای فضای نمونۀ آزمایش تصادفی پرتاب یک سکه و یک تاس، با هم دارای 8 عضو است.

ب) هر دنبالۀ حسابی یک تابع خطی است که شیب خط، همان اختلاف مشترک جملات دنباله، یعنی $d$ است.

پ) دنباله با رابطه بازگشتی $a_{n+1}=\frac{1}{3}{a}_n,a_1=1$، کاهشی است.

ت) حاصل $\sqrt[4]{{(-3)}^4}$ برابر $-3$ است.

جاهای خالی را با عبارات مناسب پر کنید. (1)

الف) حاصل $4!+1!$ برابر است با ............ .

ب) در گام ............ از چرخه آمار، داده‌ها را تحلیل و نتایج را ارائه می‌دهیم.

پ) در دنباله با جمله عمومی $a_n=n^2+1$ جمله سوم برابر با ............ است.

ت) ریشه سوم عدد $-27$ برابر است با ............ .

گزینه صحیح را انتخاب کنید. (1)

الف) فرض کنید $A$، $B$، $C$ سه پیشامد غیرتهی در فضای نمونه $S$ باشد. عبارت مجموعه‌ای مربوط به پیشامد «فقط پیشامد $A$ رخ دهد و پیشامدهای $B$ یا $C$ رخ ندهد» کدام است؟

1) $A-(B\bigcap C)$

2) $A-(B\bigcup C)$

3) $(B\bigcup C)-A$

4) $(B\bigcap C)-A$

ب) اگر داده دور افتاده نداشته باشیم، شاخص مرکزی و پراکندگی مناسب برای توصیف داده‌ها کدام است؟

1) میانگین - انحراف معیار

2) میانگین - دامنه میان چارکی

3) میانه - دامنه میان چارکی

4) میانه - انحراف معیار

پ) جملۀ عمومی دنبالۀ $2,5,8,11,...$ کدام گزینه است؟

1) $a_n=3n+2$

2) $a_n=2n-1$

3) $a_n=3n-1$

4) $a_n=5-3n$

ت) در تساوی ${(5^x)}^8=5^{-2}$ مقدار $x$ کدام است؟

1) $-\frac{1}{4}$

2) $\frac{1}{4}$

3) $-4$

4) $+2$

مجموعه $A=\left\{1,2,5,6,7\right\}$ مفروض است. (1/75)

الف) با ارقام موجود در مجموعه $A$، چند عدد سه رقمی فرد و بدون تکرار ارقام می‌توان نوشت؟

ب) مجموعه $A$ چند زیرمجموعۀ 3 عضوی دارد؟

خانواده‌ای دارای سه فرزند است. (1/75)

الف) پیشامد $A$ این‌که فقط دو فرزند پسر باشد را مشخص کنید.

ب) پیشامد $B$ این‌که فرزندان هم‌جنس باشند را مشخص کنید.

پ) آیا دو پیشامد $A$ و $B$ ناسازگارند؟ چرا؟

انجمن اولیا و مربیان یک مدرسه شامل 4 زن و 6 مرد است. می‌خواهیم گروهی سه نفره انتخاب کنیم. مطلوب است محاسبه احتمال این‌که: (2)

الف) دو نفر مرد و یک نفر زن باشند.

ب) حداقل دو نفر زن باشند.

نمودار زیر مربوط به قد دانش‌آموزان یک دبیرستان است. با توجه به نمودار، میانگین و انحراف معیار را مشخص کنید. (0/5)

برای بررسی وضعیت اجتماعی - اقتصادی خانوارهای یک شهر، در کدام‌یک از شیوه‌های نمونه‌گیری زیر، همۀ قشرهای جامعه شانس حضور ندارند؟ چرا؟ (0/75)

الف) انتخاب تصادفی خانوارها بر اساس رقم اول تلفن خانه‌ها

ب) انتخاب تصادفی خانوارها بر اساس رقم آخر تلفن خانه‌ها

پنج جملۀ اول دنباله بازگشتی $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,a_1=a_2=1$ را بنویسید. (0/75)

الف) دنبالۀ حسابی $1,5,9,...,105$ چند جمله دارد؟ (0/75)

ب) مجموع ده جملۀ اول این دنباله را با استفاده از فرمول به دست آورید. (1)

در یک دنبالۀ حسابی، جملۀ دهم برابر 25 و جملۀ پانزدهم برابر 40 می‌باشد. جملۀ اول و اختلاف مشترک دنباله را حساب کنید. (1/5)

نمودار یک دنباله حسابی به‌صورت زیر است. سه جملۀ اول این دنباله را بنویسید.

دنبالۀ هندسی $2,6,18,...$ مفروض است. (1/5)

الف) نسبت مشترک را به دست آورید.

ب) جملۀ عمومی دنباله را بنویسید.

پ) مجموع شش جملۀ اول را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.

بین دو عدد 2 و 16 دو واسطه هندسی بنویسید. (0/75)

عبارت توان‌دار را به‌صورت رادیکالی و عبارت رادیکالی را به‌صورت توان‌دار بنویسید. (0/5)

الف) ${(0/53)}^{\frac{2}{3}}$

ب) $\sqrt[5]{6^3}$

حاصل عبارت زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. $(m,n>0)$ (1)

${(m^{\frac{2}{3}}{n}^{\frac{1}{6}})}^3(m{n}^{\frac{1}{2}})=$

نمودار تابع نمایی $y={(\frac{5}{2})}^x$ را در دستگاه مختصات رسم کنید. (0/75)

اگر مقدار اولیه ماده‌ای 1000 گرم باشد و سالانه 10 درصد مقدار آن کاهش یابد، پس از دو سال مقدار مادۀ باقیمانده چقدر خواهد بود؟ (1)