حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی و آمار (3) دوازدهم خرداد 1401 - امتحان نهایی خرداد 1401

درستی یا نادرستی جمله‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) حاصل $\frac{8!}{4!}$ برابر $2!$ است.

ب) احتمال رو شدن عدد 7 در پرتاب یک تاس برابر صفر است.

پ) در دنبالۀ $a_{n+1}=a_n+3$، اگر جملۀ پنجم 17 باشد، جمله ششم آن 23 است.

ت) نمایش $\sqrt[3]{-7}$ را به‌صورت ${(-7)}^{\frac{1}{3}}$ می‌توان نوشت.

گزینه صحیح را انتخاب کنید. (0/75)

الف) فضای نمونه برای ترکیب جنسیت فرزندان خانواده‌ای با 3 فرزند، چند عضو دارد؟

1) 6

2) 8

3) 9

4) 12

ب) احتمال اینکه فردا بارانی باشد، 0/01 است. احتمال اینکه فردا بارانی نباشد، چقدر است؟

1) 0/09

2) 0/1

3) 0/9

4) 0/99

پ) تفسیر نتایج به‌دست آمده، کدام گام در چرخه حل مسائل آماری است؟

1) بیان مسئله

2) گردآوری داده‌ها

3) تحلیل داده‌ها

4) بحث و نتیجه‌گیری

مسئله‌ای طرح کنید که پاسخ آن به‌صورت $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ باشد. (0/5)

کدام‌یک از پدیده‌های زیر تصادفی و کدام یک قطعی است؟ (0/5)

الف) مشاهده عدد 3 در پرتاب یک تاس که روی هر شش وجه آن، عدد 3 حک شده باشد.

ب) نتیجه یک آزمون چهارگزینه‌ای که نیمی از سؤالات آن را شانسی پاسخ داده‌ایم.

از بین 4 مهره سفید و 3 مهره سیاه، به تصادف 2 مهره انتخاب می‌کنیم. احتمال این را که هر دو مهره سفید باشد، محاسبه کنید. (1/5)

داده‌های زیر، میزان حقوق ماهیانه (بر حسب میلیون تومان) کارمندان یک شرکت خصوصی را نشان می‌دهد: (1/25)

$8,6,6,5,11,20,9,8,35,12,10$

الف) دامنه تغییرات و میانه داده‌های بالا را به‌دست آورید.

ب) آیا میانه معیار گرایش به مرکز مناسبی برای توصیف این داده‌ها است؟ چرا؟

چهار جملۀ اول دنبالۀ $a_n=3n+2$ را بنویسید. (1)

رابطۀ بازگشتی دنبالۀ $5,11,17,...$ را بنویسید. (0/75)

در یک دنبالۀ حسابی، جملۀ اول 5 و اختلاف مشترک برابر 7 است. (2)

الف) جملۀ یازدهم این دنباله را به‌دست آورید.

ب) کدام جملۀ دنباله، برابر 96 است؟

در دنبالۀ حسابی $3,7,11,15,...$، مجموع بیست جملۀ اول این دنباله را به‌دست آورید. (1/5)

کدام‌یک از دنباله‌های زیر هندسی است؟ در صورت مثبت بودن جواب، نسبت مشترک را به‌دست آورید. (1)

الف) $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},...$

ب) $1,4,9,16,...$

جملۀ دوم یک دنبالۀ هندسی، 6 و جملۀ پنجم همین دنباله، 48 است. (2)

الف) نسبت مشترک این دنباله را پیدا کنید.

ب) جملۀ هفتم این دنباله را بنویسید.

عبارت توان‌دار را به‌صورت رادیکالی و عبارت رادیکالی را به‌صورت توان‌دار بنویسید. (1)

الف) $\sqrt[5]{{12}^3}$

ب) ${(0/24)}^{\frac{2}{7}}$

در تساوی $8^x\times 8^3=8^{10}$، مقدار $x$ را مشخص کنید. (1)

حاصل هر یک از عبارت‌های زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. (1/5)

الف) ${\left({15}^6\right)}^{\frac{1}{2}}$

ب) ${11}^{\frac{2}{5}}\times 6^{\frac{2}{5}}$

پ) $4^{\frac{2}{3}}÷4^{\frac{1}{3}}$

تابع نمایی $y=2^x$ را در نظر بگیرید: (1/5)

الف) جدول زیر را کامل کنید.

ب) نمودار مختصاتی $y=2^x$ را رسم کنید.

جمعیت شهری در سال 1400 شمسی، حدود دو میلیون نفر برآورد شده است. اگر رشد جمعیت این شهر به‌صورت نمایی و با ضریب ثابت 10 درصد در حال افزایش باشد، جمعیت این شهر در سال 1401 چند نفر خواهد بود؟ (1/25)