حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی و آمار (3) دوازدهم خرداد 1400 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1400 (انسانی)

جاهای خالی را با عبارات مناسب تکمیل کنید. (1/5)

الف) برای عدد صفر، فاکتوریل را به‌صورت $0!=\cdots \cdots \cdots$ تعریف می‌کنیم.

ب) اگر عملی طی دو مرحله اول و دوم انجام شود، به‌طوری که در مرحله اول به $m$ طریق و در مرحله دوم هر کدام از این $m$ طریق به $n$ روش انجام‌پذیر باشند، در کل آن عمل به ............ طریق انجام‌پذیر است.

پ) تعداد جایگشت‌های $n$تایی از $n$ شی برابر با ............ است.

ت) اگر داده‌های دور افتاده داشته باشیم از نمودار ............ استفاده می‌کنیم.

ث) اگر پیشامد $A$ حتمی باشد، احتمال آن برابر با ............ است.

ج) هرگاه $A$ و $B$ دو پیشامد از فضای نمونه‌ای $S$ باشند، به‌طوری که ............ در این صورت پیشامدهای $A$ و $B$ را ناسازگار می‌گوییم.

درستی یا نادرستی جمله‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) وقتی داده دور افتاده داریم، میانه معیار مناسبی برای توصیف داده‌ها می‌باشد.

ب) برای توصیف داده‌های کمی گزارش درصد باید همیشه با گزارش تعداد برابر باشد.

پ) مرتب کردن داده‌ها در گام دوم چرخه آمار اتفاق می‌افتد.

ت) طرح یک پرسش دقیق و شفاف مهم‌ترین گام رسیدن به پاسخ است که در مرحله بیان مسئله صورت می‌گیرد.

گزینه صحیح را انتخاب کنید. (1)

الف) حاصل $\frac{6!}{3!}$ کدام است.

1) 20

2) 30

3) 120

4) 35

ب) روش نمونه‌گیری مربوط به کدام مرحله چرخه آمار است؟

1) طرح و برنامه‌ریزی

2) بیان مسأله

3) بحث و نتیجه‌گیری

4) تحلیل داده‌ها

پ) با 8 نقطه متمایز واقع بر محیط دایره چند مثلث می‌توان تشکیل داد؟

1) 42

2) 15

3) 20

4) 56

ت) حاصل عبارت $p(2,2)$ کدام است؟

1) 1

2) صفر

3) 2

4) 4

بین چهار شهر $A$ و $B$ و $C$ و $D$ مطابق شکل زیر راه‌هایی وجود دارد. مشخص کنید به چند طریق می‌توان از شهر $C$ و بدون عبور از شهر $B$ به شهر $D$ مسافرت کرد؟ (0/75)

از بین 2 دانش‌آموز رشته ریاضی و 3 دانش‌آموز رشته تجربی و 2 دانش‌آموز رشته انسانی، 3 دانش‌آموز را به تصادف برای اردوی مشهد انتخاب می‌کنیم. چقدر احتمال دارد از هر رشته یک دانش‌آموز انتخاب شود؟ (0/75)

جدول زیر را کامل کنید. (1/5)

با توجه به دنباله‌های $a_n=2^{2n+1}$ و $b_n=\frac{15}{n+1}$ و $c_n=(\frac{1}{2}){}^{n-2}$ حاصل عبارت $a_1-b_4+c_2$ را به‌دست آورید. (1)

در یک دنباله حسابی جمله اول $-17$ و جمله دهم برابر 10 است. جمله عمومی این دنباله را به‌دست آورید. (1)

در دنباله حسابی زیر، مجموع 16 جمله اول را به‌دست آورید. (1)

$11,8,5,\dots \dots$

کدام‌یک از جملات عمومی زیر مربوط به دنباله حسابی است؟ اختلاف مشترک آن را به‌دست آورید. (1)

الف) $a_n=n(n-1)$

ب) $b_n=3(n-2)$

به کمک رابطه بازگشتی $a_1=\frac{1}{2}$ و $a_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_n$ (1/5)

الف) سه جمله اول دنباله را بنویسید.

ب) جمله عمومی و نسبت مشترک آن را به‌دست آورید.

نخستین جمله یک دنباله هندسی 96 و نسبت مشترک این دنباله 2 می‌باشد. کدام جمله دنباله برابر 768 است؟ (1/5)

عبارت توان‌دار را به‌صورت رادیکالی و عبارت رادیکالی را به‌صورت توان‌دار بنویسید. (2)

الف) $4^{\frac{1}{3}}$

ب) ${(0/8)}^{\frac{2}{9}}$

پ) $\sqrt[5]{{(21)}^4}$

ت) $\sqrt[8]{{(0/47)}^3}$

در هر یک از تساوی‌های زیر مقدار $x$ را مشخص کنید. (1/5)

الف) $8^4\times 9^x={72}^4$

ب) ${(5^x)}^6=\frac{1}{5^2}$

پ) $(0/6)\times {(0/6)}^x\times {(0/6)}^3={(0/6)}^8$

حاصل هر یک از عبارت‌های زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. (1)

الف) $(\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}}){}^4$

ب) $5^{\frac{1}{3}}\times 5^{\frac{-1}{3}}$

نمودار مختصاتی تابع نمایی $y=3^x$ را رسم کنید. (1)

پدر سارا قصد دارد مبلغ 20 میلیون تومان را برای هزینه دانشگاه دخترش در بانکی سپرده‌گذاری کند. این بانک سالانه 20% سود به سپرده‌ها پرداخت می‌کند. پدر سارا بعد از 2 سال چه مبلغی را می‌توان دریافت کند؟ (1)