حل تشریحی سوالات هندسه 3 - آزمون امتحان نهایی 1403

الف) اگر A ماتریس اسکالر و B ماتریس هم‌مرتبه A باشد، آن‌گاه حاصلضرب آن‌ها تعویض‌پذیر است. (درست - نادرست)

ب) اگر باشد آن‌گاه $A^{1403}=I$. (درست - نادرست)

ج) دترمینان ماتریس برابر ................... است.

د) از تساوی ماتریسی $A\times B=A\times C$ که در آن A یک ماتریس مربعی است، با شراط ...................... نتیجه می‌شود $B=C$.

اگر به‌صورت باشد، ماتریس $A^2-2I$ را به‌دست آورید.

اگر و $\left|A^3\right|=-8$ باشد، حاصل $\frac{|A^{-1}|}{|3A|}$ را بیابید.

دستگاه معادلات را با اسفتاده از ماتریس وارون حل کنید.

به ازای چه مقادیری از m دستگاه معادلات یک جواب منحصر به فرد دارد.

دایره‌هایی که مرکز آن‌ها روی سهمی به معادله ${\left(y-1\right)}^2=-8\left(x+1\right)$ واقع است و از کانون سهمی می‌گذرند، بر خط به معادله ......................... مماس هستند.

دو نقطه A و B و خط d که شامل هیچ‌یک نیست در صفحه مفروضند، نقطه‌ای بیابید که از A و B به یک فاصله‌ بوده و از d به فاصله‌ی 3 سانتی‌متر باشد.

وضعیت دایره به معادله $x^2+y^2-6x+12y+20=0$ ، نسبت به دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصات و شعاع 3 وحد را مشخص کنید.

معادله دایره‌ای را بنویسید که خط‌های x+y=1 و x-y=3 شامل قطرهایی از آن باشند و روی خط به معادله x+y=2 وتری به طول $2\sqrt{2}$ ایجاد می‌کند.

نقاط B(-1,2) و $B^{\prime }\left(-1,-4\right)$ دو سر قطر کوچک یک بیضی با فاصله کنونی $2\sqrt{3}$ واحد است. طول قطر بزرگ بیضی را بیابید.

یک بیضی به مرکز O و کانون‌های F و $F^{\prime }$ مطابق شکل روبه‌رو مفروض است. اگر باشد، خروج از مرکز بیضی را به‌دست آورید.

معادله سهمی را بنویسید که خط هادی آن y=-2 و کانون آن (4-، 1) F باشد.

یک شعاع نورانی در امتداد خط x=4 بر سهمی $x^2=8y$ می‌تابد. معادله خط بازتاب را بنویسید.

الف) خط به معادله بر صفحه xoz عمود است. (درست - نادرست)

ب) معادله صفحه‌ای که موازی صفحه yoz است و از نقطه A(2,−1,3) می‌گذرد، برابر با ..................... است.

ج) حاصل عبارت i×(j​×k) برتبر ........................ است.

د) در شکل زیر بردار x بر حسب a و b برابر با ....................... است.

اگر $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}-\sqrt{3}\overrightarrow{k}$ و $\overrightarrow{b}=\left(\sqrt{3},2,1\right)$ باشد، تصویر قائم بردار بر $\overrightarrow{b}$ و $\overrightarrow{a}$ و اندازه‌ی بردار تصویر را به‌دست آورید.

اگر مساحت متوازی‌الاضلاعی که توسط بردارهای $\overrightarrow{a}$ و $\overrightarrow{b}$ ساخته می‌شود $6\sqrt{3}$ باشد و $\left|\overrightarrow{a}\right|=4$، $\left|\overrightarrow{b}\right|=3$، حاصل $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ را به‌دست آورید.

دو بردار $\overrightarrow{a}=\left(-m,-1,-2\right)$ و $\overrightarrow{b}=\left(0,-3,m+2\right)$ مفروض‌اند. اگر دو بردار $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ و $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ بر هم عمود باشند، آن‌گاه حجم متوازی‌السطوحی که روی بردارهای $\overrightarrow{a}$ و $\overrightarrow{b}$ و $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ ساخته می‌شود را به‌دست آورید.