حل تشریحی سوالات حسابان 2 - آزمون امتحان نهایی 1403

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را تعیین کنید.

الف) اگر توابع f و g در یک فاصله‌ی اکیداً نزولی باشند، تابع f+g نیز در آن فاصله اکیداً نزولی است.

ب) اگر x=c طول یک نقطه اکسترمم نسبی تابع f باشد، آن‌گاه $f^{\prime }\left(c\right)=0$.

جاهای خالی را با عدد یا عبارت مناسب کامل کنید.

الف) تابع $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^3+1$ را در نظر بگیرید. نمودار $f^{-1}$ از ناحیه ................... محورهای مختصات عبور نمی‌کند.

ب) حاصل برابر ......................... است.

پ) اگر $f^{\prime }\left(4\right)=2$ و $f\left(4\right)=-1$، خط مماس بر نمودار f در x=4، محور yها را در نقطه‌ای به عرض ................... قطع می‌کند.

نمودار تابع f(x) در زیر رسم شده است. نمودار تابع y=-f(2x-1) را رسم کرده، سپس دامنه و برد تابع حاصل را به دست آورید.

الف) اگر چند جمله‌ای $p\left(x\right)=x^3+mx+2$ بر x-2 بخش‌پذیر باشد، آن‌گاه باقی‌مانده تقسیم p(x) بر x+1 را به دست آورید.

ب) چند جمله‌ای $x^5-1$ را طوری تجزیه کنید که x-1 یک عامل آن باشد.

نمودار داده شده در شکل زیر مربوط به تابع با ضابطه $y=a\sin bx+c$ است. با فرض $a>0$، مقادیر a، b و c را به‌دست آورید.

معادله $\sin 2x=\sin x$ را حل کنید.

نشان دهید در شکل زیر رابطه‌ی بین زاویه $\beta$ و $\alpha$ به‌صورت زیر است.

$\tan \beta =\frac{5x}{x^2+6}$

حدهای زیر را محاسبه کنید. (نماد [] علامت جزء صحیح است.)

الف)

ب)

پ)

مجانب‌های قائم و افقی منحنی تابع $fx=\frac{2x-1}{x^3+2x}$ را به‌دست آورده و سپس وضعیت نمودار تابع را در نزدیکی مجانب قائم آن نمایش دهید.

مشتق‌پذیری تابع را در نقطه $x=0$ به کمک تعریف مشتق بررسی کنید.

اگر $g^{\prime }\left(1\right)=5,f^{\prime }\left(1\right)=3$ و $f\left(1\right)=1$، مقدار مشتق $\left(f+g\right)of$ در $x=1$ را به دست آورید.

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.)

الف) $f\left(x\right)={\left(x^x+1\right)}^2\left(\sqrt{3x+2}\right)$

ب) $g\left(x\right)={\sin }^{2}3x+\tan \left(x^2\right)$

جسمی را از سطح زمین به‌طور عمودی پرتاب می‌کنیم. فرض کنیم ارتفاع این جسم (برحسب متر) از سطح زمین در هر لحظه از معادله $h\left(t\right)=-5t^2+40t$ به دست می‌آید. (t بر حسب ثانیه)

الف) سرعت متوسط جسم در بازه زمانی [4، 3] را به‌دست آورید.

ب) لحظه‌ای را معلوم کنید که سرعت جسم برابر 20m/s است.

مقدار ماکزیمم مطلق تابع $f\left(x\right)=x^3-12x$ در بازه [3، 1-] را به‌دست آورید.

مقادیر $b,a$ و c را در تابع $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ طوری به دست آورید که در نقطه (1-، 3) اکسترمم نسبی داشته باشد و x=1 طول نقطه عطف آن باشد.

جدول رفتار و نمودار تابع $y=\left(x+2\right){\left(x-4\right)}^2$ را رسم کنید.