حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس هندسه (3) دوازدهم خرداد 1401 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1401 (ریاضی)

عبارت‌های زیر را کامل کنید. (1)

الف) اگر ماتریس $\left[\begin{array}{cc}r& m-1\\ 0& 1\end{array}\right]$ یک ماتریس همانی  باشد حاصل $m+r$ برابر با ............ است.

ب) اگر در بیضی خروج از مرکز به عدد صفر نزدیک شود کشیدگی بیضی کمتر شده و بیضی به ............ نزدیک‌تر می‌شود.

پ) نقطه $A(1,-2)$ در ............ دایره به معادله $x^2+y^2-2x+2y=0$ قرار دارد.

ت) اگر سه بردار $\vec{a}$، $\vec{b}$ و $\vec{c}$ در یک صفحه باشند آنگاه حجم متوازی‌السطوح بنا شده توسط سه بردار برابر ............ است.

درستی و نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید. سپس شکل صحیح عبارت نادرست را بنویسید. (1/5)

الف) اگر $A$ یک ماتریس $3\times 3$ و $\left|A\right|=5$ باشد آنگاه $\left|2A\right|=40$ است.

ب) اگر صفحۀ $P$ به‌گونه‌ای باشد که هر دو تکۀ بالایی و پایینی سطح مخروطی را قطع کند و شامل محور نباشد، در این صورت فصل مشترک صفحه $P$ و سطح مخروطی یک هذلولی است.

پ) در شکل روبه‌رو اگر خط $d$ در نقطه $M$ بر بیضی مماس باشد، زاویه $F\hat{M}{F}^{\prime }={50}^{\circ }$ باشد آنگاه اندازه زاویه $\alpha =\beta ={60}^{\circ }$ است.

ت) برای دو بردار واحد $\vec{i}$ و $\vec{j}$ حاصل ضرب خارجی $\vec{i}\times \vec{j}=\vec{0}$ است.

اگر $A=\left[\begin{array}{cc}4& a\\ b& -1\end{array}\right]$ و $B=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 2\end{array}\right]$ مقادیر $a$ و $b$ را طوری به‌دست آورید که $A\times B$ ماتریس قطری باشد. (1)

ماتریس $A$ مربعی مرتبه سه به‌صورت $A={\left[a_{ij}\right]}_{3\times 3}$ که $a_{ij}=\{\begin{array}{cc}i+j& i=j\\ j& i>j\\ 0& i<j\end{array}$ و $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 3& 2\\ 2& 0& 5\end{array}\right]$ باشد، (1/25)

الف) ماتریس $A$ را به‌صورت آرایش مستطیلی بنویسید.

ب) دترمینان ماتریس $B$ را محاسبه کنید.

دستگاه $\{\begin{array}{c}2x+y=4\\ 7x+4y=15\end{array}$ را با استفاده از ماتریس وارون حل کنید. (1/25)

نقاط $A$، $B$ و $C$ در صفحه مفروض‌اند. نقطه‌ای بیابید که از $A$ و $B$ به یک فاصله و از $C$ به فاصله 3 سانتی‌متر باشد (بحث کنید). (1/5)

معادله دایره‌ای را بنویسید که مرکز آن نقطه $O(1,-1)$ و بر خط $3x-4y+3=0$ مماس باشد. (1)

در یک بیضی افقی به مرکز مبدأ مختصات طول قطرها برابر 10 و 6 است، (1/5)

الف) خروج از مرکز بیضی را بیابید.

ب) مختصات کانون‌ها $(F^{\prime },F)$، مختصات دو سر قطر بزرگ $(A^{\prime },A)$ و دو سر قطر کوچک $(B^{\prime },B)$ را به‌دست آورید.

پ) بیضی را روی محور مختصات رسم کنید.

الف) معادله متعارف و فاصله کانونی سهمی به معادلۀ $y^2-2y-8x+9=0$ را بیابید. (0/75)

ب) مختصات رأس، کانون و معادله خط هادی سهمی را به‌دست آورید. (0/75)

در شکل روبه‌رو سهمی با رأس $A$ و کانون $F$ و خط هادی $d$ رسم شده است، از کانون $F$ به نقطۀ دلخواه $M$ روی سهمی وصل کرده و امتداد داده‌ایم تا خط $d$ را در $N$ قطع کند و از نقطۀ $M$، $MT$ را بر $d$ عمود کرده‌ایم. (1/25)

ثابت کنید: $\frac{FN}{FA}=\frac{2NT}{TH}$

شکل کلی (نمودار) مربوط به رابطه $x^2\le y\le 2$ را رسم کنید. (0/5)

با توجه به شکل، به سؤالات زیر پاسخ دهید. (1/5)

الف) نام وجه از شکل که معادله آن به‌صورت زیر مشخص شده را بنویسید.

$x=2,0\le y\le 4,0\le z\le 3$

ب) معادلات مربوط به پاره‌خط (یال) $AD$ را بنویسید.

پ) مختصات نقطه $D$ را بنویسید.

ت) معادله صفحه‌ای را بنویسید که موازی با صفحه $xoz$ باشد و مکعب مستطیل را نصف کند.

سه بردار $\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$ و $\vec{b}=\vec{i}+\vec{k}$ و $\vec{c}=(0,2,1)$ در نظر بگیرید. (1/75)

الف) زاویه بین دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$ برابر با $\theta$ باشد $\cos \theta$ را بیابید.

ب) تصویر قائم بردار $\vec{a}$ بر $\vec{b}-\vec{c}$ را به‌دست آورید.

دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$ مفروض‌اند به‌طوری که $|\vec{a}|=6$ و $|\vec{b}|=4$ زاویه بین آن‌ها 30 درجه است مقدار عبارت $|2\vec{a}\times \vec{b}|$  را محاسبه کنید. (1)

اگر $A=(2,-1,3)$  و $B=(3,1,4)$ و $C=(-1,1,0)$ سه رأس مثلث $ABC$ باشند، مساحت مثلث $ABC$ را با استفاده از ضرب خارجی بردارها به‌دست آورید. (1/5)

برای دو بردار غیر صفر $\vec{a}$ و $\vec{b}$ ثابت کنید دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$ بر هم عمودند اگر و فقط اگر $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$. (1)