حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی حسابان (2) دوازدهم خرداد 1401 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1401 (ریاضی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (1)

الف) اگر تابع $f$ در $x=a$ پیوسته باشد و در این نقطه، مشتق چپ و راست نامتناهی باشد آنگاه $f^{\prime }(a)$ وجود ندارد.

ب) هر نقطه بحرانی تابع $f(x)$، یک نقطه اکسترمم نسبی تابع $f(x)$ است.

جاهای خالی را با عدد یا کلمه مناسب کامل کنید. (1)

الف) دوره تناوب تابع $y=7\sin (\frac{-\pi }{2}x)+2$ برابر ........... است.

ب) اگر برای هر $x$ در بازه $I$؛ $f^{\prime \prime }(x)>0$، آنگاه نمودار $f(x)$ در این بازه تعقر رو به ........... دارد.

نمودار تابع $f$ در شکل زیر رسم شده است. نمودار تابع $g(x)=f(x-1)$ را رسم کرده و دامنه تابع $g$ را تعیین کنید. (1)

ابتدا نمودار تابع $f(x)=x^2+2x$ را رسم نمایید، سپس تعیین کنید که این تابع در چه بازه‌ای اکیداً صعودی و در چه بازه‌‌ای اکیداً نزولی است. (1)

باقیمانده تقسیم چندجمله‌ای $p(x)=8x^3-4x^2+2$ را بر $2x+1$ به‌دست آورید. (0/5)

معادله مثلثاتی $\sin 2x-\cos x=0$ را حل کنید. (1/5)

حدود توابع زیر را در صورت وجود بیابید. (1)

الف) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-4}{{(x-2)}^2}$

ب) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-x^3}{2x-1}$

مجانب‌های قائم و افقی منحنی تابع $f(x)=\frac{1-x^2}{x^2+x}$ را در صورت وجود بیابید. (1/5)

مشتق‌پذیری تابع $f(x)=\left|2x-4\right|$ را در $x=2$ بررسی کنید. (1/5)

برای تابع $f(x)=x^3-8$ در نقطه تقاطع آن را محور $x$ها معادله خط مماس را بنویسید. (1/5)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2/5)

الف) $f(x)={(-3x^2+x)}^5(2x)$

ب) $g(x)=5\tan x+\sin x^2$

پ) $h(x)=\frac{2}{x}$

اگر سرعت متوسط یک متحرک در یک بازه برابر 2 متر بر ثانیه باشد و معادله حرکت متحرک به‌صورت $f(t)=t^3-t$ برحسب متر باشد. در کدام لحظه، سرعت لحظه‌ای متحرک برابر سرعت متوسط آن است. (1)

اگر نقطه $A(-1,1)$ نقطه عطف تابع با ضابطه $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+2$ باشد. مقادیر $a$ و $b$ را به‌دست آورید. (1/5)

با توجه به نمودار داده شده، به سؤالات زیر پاسخ دهید. (1)

الف) مقدار ماکزیمم مطلق را بنویسید.

ب) مقدار مینیمم مطلق را بنویسید.

پ) طول نقطه ماکزیمم نسبی را بنویسید.

ت) طول نقطه مینیمم نسبی را بنویسید.

جدول رفتار و نمودار تابع $y=\frac{2x-1}{x-2}$ را رسم کنید. (2/5)