حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی (3) دوازدهم دی 1401 - امتحان نهایی دوازدهم دی 1401 (تجربی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) تابع $y=2x(1-3x^2)+1$ یک تابع چندجمله‌ای درجه سوم است.

ب) نمودار تابع $y=x^2$ در بازه $(0,1)$ پایین‌تر از، نمودار تابع $y=x^3$ است.

پ) هر تابع یکنوا، یک‌به‌یک است.

ت) مقدار عددی عبارت ${\cos }^2{15}^{\circ }-{\sin }^2{15}^{\circ }$ برابر $\frac{\sqrt{3}}{2}$ است.

در جاهای خالی عبارت ریاضی مناسب قرار دهید. (0/5)

الف) اگر $f(x)=2x^3-1$ باشد، حاصل $f^{-1}(15)$ برابر ............ است.

ب) حاصل حد تابع $f(x)=\frac{2x^2}{3x^2-1}$ وقتی $x\to +\infty$ میل می‌کند برابر ............ است.

اگر $f(x)=7-4x^2$ و $g(x)=\sqrt{x+3}$ باشد: (1/25)

الف) دامنه تابع $fog$ را با استفاده از تعریف به‌دست آورید.

ب) مقدار $(gof)(1)$ را محاسبه کنید.

اگر دامنه تابع $y=f(x)$ برابر $(-1,3]$ و برد آن $(0,2]$ باشد. دامنه و برد تابع $y=f(\frac{x}{2})$ را بیابید. (0/75)

نمودار تابع با ضابطه $y=a\cos bx+c$ به‌صورت مقابل رسم شده است. مقادیر $a$، $b$ و $c$ را به‌دست آورید. (1/75)

نمودار تابع با ضابطه $y=\sin x$ و خط به معادله $y=\frac{1}{2}$ در دستگاه مختصات زیر، رسم شده است. طول نقاط برخورد آن‌ها را بیابید. (1)

نمودار تابع $f$ به شکل مقابل است حدهای زیر را محاسبه کنید. (0/75)

الف) $\underset{x\to {(-1)}^{+}}{\lim }f(x)$

ب) $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)$

پ) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$

حد زیر را در صورت وجود محاسبه کنید. (1)

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{x^2-1}$

نمودار تابع $f$ به‌صورت زیر رسم شده است. اگر خط $d$ در نقطه $A$ بر نمودار تابع $f$ مماس باشد. (0/75)

الف) حاصل $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ را بیابید.

ب) شیب خط‌های مماس در نقاط $A$ و $B$ را مقایسه کنید.

نمودار تابع $f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{x-1}+2& x\ge 2\\ {(x-1)}^2& x<2\end{array}$ به‌صورت مقابل است: (1/5)

الف) آیا تابع $f$ در نقطه $x=2$ مشتق‌پذیر است؟

ب) آیا تابع در بازه $(-\infty ,2)$ مشتق‌پذیر است؟ چرا؟

پ) مشتق راست تابع $f$ در نقطه $x=2$ را به‌دست آورید.

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (1/5)

الف) $f(x)=x(x-1)(x+1)$

ب) $g(x)=(\frac{2x-1}{x+1}){}^3$

جسمی را از سطح زمین به‌طور عمودی پرتاب می‌کنیم، جهت حرکت به طرف بالا را مثبت در نظر می‌گیریم. فرض کنیم ارتفاع این جسم از سطح زمین در هر لحظه از معادله $h(t)=-4t^2+40t$ به‌دست می‌آید. (1/25)

الف) سرعت متوسط در بازه $\left[2,4\right]$ را بیابید.

ب) در چه زمانی سرعت لحظه‌ای آن برابر 16 متر بر ثانیه است؟

نمودار تابع با ضابطه $f(x)=x^3+b{x}^2+d$ به‌صورت شکل مقابل رسم شده است. مقادیر $b$ و $d$ را بیابید. (1/5)

دو عدد حقیقی بیابید که تفاضل آن‌ها 10 باشد و حاصل ضرب‌شان کمترین مقدار ممکن گردد. (1/5)

اگر در بیضی مقابل مختصات کانون $F^{\prime }(4,0)$ و مختصات رأس $B(0,3)$ باشد: (1/5)

الف) قطر بزرگ بیضی را بیابید.

ب) محیط مثلث $(M\stackrel{\Delta }{F}{F}^{\prime })$ را بیابید.

معادله گسترده یک دایره به شکل $x^2+y^2+2x+2y-8=0$ است. مختصات مرکز دایره و اندازه شعاع دایره را بیابید. (1)

دو ظرف یکسان داریم. ظرف اول شامل 5 مهره سبز و 3 مهره آبی و ظرف دوم شامل 4 مهره سبز و 6 مهره آبی است. از ظرف اول مهره‌ای انتخاب کرده و در ظرف دوم قرار می‌دهیم. سپس یک مهره به تصادف از ظرف دوم انتخاب می‌کنیم. با چه احتمالی این مهره سبز است؟ (1/5)