حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان شبه‌نهایی درس ریاضی و آمار (1) دهم اردیبهشت 1403 نوبت صبح - امتحان شبه‌نهایی دهم اردیبهشت 1403 (انسانی)

در هر مورد جای خالی را با یک عدد مناسب کامل کنید. (1/5)

الف) محیط مربعی که اندازه قطر آن برابر $2\sqrt{5}$ باشد، برابر ............ است.

ب) معادله درجه دوم ${(x-1)}^2=\cdots \cdots \cdots$ دارای ریشه مضاعف $x=1$ است.

پ) مجموع ریشه‌های معادله $4x^2+3x-7=0$ برابر ............ است.

معادله‌های زیر را حل کنید. (3)

الف) $x^2-6x=0$ (حل به روش تجزیه)

ب) $2x^2-5x-3=0$ (حل به روش فرمول کلی)

پ) $\frac{4}{2x-1}=\frac{5}{x+2}$ (معادله عبارت گویا)

معادله درجه دومی را بنویسید که ریشه‌های آن 7 و $-6$ باشد. (1)

با تشکیل معادله، عددی بیابید که پنج برابر آن به علاوه دو، مساوی با سه برابر آن عدد منهای دو باشد. (1)

اگر $A=\left\{2,3\right\}$ و $B=\left\{4,5,6\right\}$. در این صورت: (1)

الف) رابطه‌ای از $A$ به $B$ بنویسید که تابع باشد.

ب) رابطه‌ای از $A$ به $B$ بنویسید که تابع نباشد.

دامنه تابع $g(x)=2x^2+3$، مجموعه $A=\{-1,\sqrt{2},0\}$ است. برد آن را به‌دست آورید. (1/5)

طول یک مستطیل 3 واحد بیشتر از عرض آن است. ضابطه تابع محیط این مستطیل را برحسب عرض آن بنویسید. (0/75)

نمودار تابع خطی $f$ از مبدأ مختصات می‌گذرد و $f(2)=3$. معادله این تابع را بنویسید. (1)

نمودار سهمی $y=x^2+4x$ را رسم کنید. (1/25)

در یک کارخانه نوعی لامپ تولید می‌شود. اگر $x$ متوسط تعداد لامپ‌های تولیدی در روز برای این کارخانه باشد، آنگاه تابع درآمد و هزینه روزانه آن به‌ترتیب $R(x)=300x$ و $C(x)=x^2+200x+30$ است. (1/5)

الف) معادله سود این کارخانه را بنویسید.

ب) این کارخانه روزانه چند لامپ باید تولید کند تا بیشترین سود را داشته باشد؟

پ) بیشترین سود این کارخانه را محاسبه کنید.

درستی یا نادرستی هر مورد را مشخص کنید. (1)

الف) هر زیرمجموعه از جامعه آماری که به روش مشخصی انتخاب شده باشد را آماره می‌نامند.

ب) نمونه‌ای را که در آن همه اعضای جامعه، شانس انتخاب یکسان در نمونه را داشته باشند را نمونه تصادفی می‌نامند.

پ) وقتی داده دور افتاده در بین داده‌های یک مجموعه آماری وجود داشته باشد، میانه نسبت به میانگین، معیار مناسب‌تری است.

ت) تمام داده‌های یک مجموعه آماری برابر هستند. در این صورت واریانس آن داده‌ها برابر یک است.

بهترین روش جمع‌آوری داده‌ها، برای هر یک از موضوعات زیر را بنویسید. (0/75)

الف) تعداد افراد استفاده‌کننده از پل عابر در یک روز و خیابان مشخص

ب) ساعات خواب دانش‌آموزان کلاس شما در شب گذشته

پ) سن همه دانش‌آموزان پایه دهم مدرسه شما برحسب ماه

نوع هر یک از متغیرها (کمی، کیفی) و مقیاس اندازه‌گیری (اسمی، ترتیبی، فاصله‌ای، نسبتی) آن‌ها را به‌طور کامل مشخص کنید. (1/5)

الف) مدرک تحصیلی کارمندان

ب) وزن هندوانه‌های یک مزرعه

پ) گروه خونی کارمندان یک شرکت

پارامتر جامعه در چه صورتی قابل محاسبه است؟ (0/5)

میانگین داده‌های زیر برابر 22 است. (1/25)

$15,20,21,24,25,a,22,30,25,20$

الف) مقدار $a$ را به‌دست آورید.

ب) میانه داده‌ها را تعیین کنید.

برای داده‌های 15 و 13 و 11 و 10 و 6 میانگین و انحراف معیار را محاسبه کنید. (1/5)