حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس هندسه (3) دوازدهم خرداد 1403 (ریاضی) - امتحان نهایی خرداد 1403

الف) اگر $A$ ماتریس اسکالر و $B$ ماتریس هم‌مرتبه $A$ باشد، آنگاه حاصل‌ضرب آن‌ها تعویض‌پذیر است. (درست - نادرست) (0/25)

ب) اگر  $A=\left[\begin{array}{cc}5& -2\\ 10& -4\end{array}\right]$ باشد آنگاه $A^{1403}=I$. (درست - نادرست) (0/5)

ج) دترمینان ماتریس $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 3& 2& 1\\ 0& -2& 4\end{array}\right]$ برابر ............ است. (0/5)

د) از تساوی ماتریسی $A\times B=A\times C$ که در آن $A$ یک ماتریس مربعی است، با شرط ............ نتیجه می‌شود $B=C$. (0/25)

اگر $A={\left[a_{ij}\right]}_{3\times 3}$ به صورت $a_{ij}=\{\begin{array}{ccc}-1& & |i-j|>1\\ 0& & |i-j|=1\\ 1& & |i-j|<1\end{array}$ باشد، ماتریس $A^2-2I$ را به‌دست آورید. (1/5)

اگر $A={\left[a_{ij}\right]}_{2\times 2}$ و $\left|A^3\right|=-8$ باشد، حاصل $\frac{\left|A^{-1}\right|}{\left|3A\right|}$ را بیابید. (1)

دستگاه معادلات $\{\begin{array}{c}3x+7y=-4\\ -5x+2y=-7\end{array}$ را با استفاده از ماتریس وارون حل کنید. (1)

به ازای چه مقادیری از $m$ دستگاه معادلات $\{\begin{array}{c}-4x+(m-3)y=3\\ \\ 2x-\frac{m-3}{2}y=1\end{array}$ یک جواب منحصربه‌فرد دارد. (1)

دایره‌هایی که مرکز آن‌ها روی سهمی به معادله ${(y-1)}^2=-8(x+1)$ واقع است و از کانون سهمی می‌گذرند، بر خط به معادله ............ مماس هستند. (0/5)

دو نقطه $A$ و $B$ و خط $d$ که شامل هیچ یک نیست در صفحه مفروض‌اند. نقطه‌ای بیابید که از $A$ و $B$ به یک فاصله بوده و از $d$ به فاصله 3 سانتی‌متر باشد. (1/25)

وضعیت دایره به معادله $x^2+y^2-6x+12y+20=0$، نسبت به دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصات و شعاع 3 واحد را مشخص کنید. (1)

معادله دایره‌ای را بنویسید که خط‌های $x+y=1$ و $x-y=3$ شامل قطرهایی از آن باشند و روی خط به معادله $x+y=2$ وتری به طول $2\sqrt{2}$ ایجاد می‌کند. (1)

نقاط $B(-1,2)$ و $B^{\prime }(-1,-4)$ دو سر قطر کوچک یک بیضی با فاصله کانونی $2\sqrt{3}$ واحد است. طول قطر بزرگ بیضی را بیابید. (1)

یک بیضی به مرکز $O$ و کانون‌های $F$ و $F^{\prime }$ مطابق شکل زیر مفروض است. اگر $4S_{\stackrel{\Delta }{FB{F}^{\prime }}}=S_{\stackrel{\Delta }{B{A}^{\prime }O}}$ باشد، خروج از مرکز بیضی را به‌دست آورید. (1)

معادله سهمی را بنویسید که خط هادی آن $y=-2$ و کانون آن $F(1,-4)$ باشد. (1)

یک شعاع نورانی در امتداد خط $x=4$ بر سهمی $x^2=8y$ می‌تابد. معادله خط بازتاب را بنویسید. (1/25)

الف) خط به معادله $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}$ بر صفحه $xoz$ عمود است. (درست - نادرست) (0/25)

ب) معادله صفحه‌ای که موازی صفحه $yoz$ است و از نقطه $A(2,-1,3)$ می‌گذرد، برابر با ............ است. (0/25)

ج) حاصل عبارت $\vec{i}\times (\vec{j}\times \vec{k})$ برابر ............ است. (0/5)

د) در شکل زیر بردار $\vec{x}$ بر حسب $\vec{a}$ و $\vec{b}$ برابر با ............ است. (0/25)

اگر $\vec{a}=-\vec{i}-\sqrt{3}\vec{k}$ و $\vec{b}=(\sqrt{3},2,1)$ باشد، تصویر قائم بردار $\vec{b}$ بر $\vec{a}$ و اندازه بردار تصویر را به‌دست آورید. (1/5)

اگر مساحت متوازی‌الاضلاعی که توسط بردارهای $\vec{a}$ و $\vec{b}$ ساخته می‌شود $6\sqrt{3}$ باشد و $|\vec{b}|=3,|\vec{a}|=4$، حاصل $\vec{a}.(\vec{a}-\vec{b})$ را به‌دست آورید. (1/75)

دو بردار $\vec{a}=(-m,-1,-2)$ و $\vec{b}=(0,-3,m+2)$ مفروض‌اند. اگر دو بردار $\vec{a}-\vec{b}$ و $\vec{a}+\vec{b}$ بر هم عمود باشند، آنگاه حجم متوازی‌السطوحی که روی بردارهای $\vec{a}$ و $\vec{b}$ و $\vec{a}\times \vec{b}$ ساخته می‌شود را به‌دست آورید. (1/5)